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2. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ D $，$ E $ 分别是 $ AB $，$ AC $ 的中点，$ F $ 是 $ DE $ 延长线上的点，且 $ EF = DE $. 图中的平行四边形有哪几个？请说明理由.
答案
2.解:图中的平行四边形有2个,分别为▱ADCF,▱BDFC.
理由:因为E为AC的中点,
所以AE=CE.
又因为DE=EF,
所以四边形ADCF是平行四边形.
所以AD//CF,AD=CF.
因为D为AB的中点,
所以AD=BD,
所以BD=CF,BD//CF,
所以四边形BDFC是平行四边形.
理由:因为E为AC的中点,
所以AE=CE.
又因为DE=EF,
所以四边形ADCF是平行四边形.
所以AD//CF,AD=CF.
因为D为AB的中点,
所以AD=BD,
所以BD=CF,BD//CF,
所以四边形BDFC是平行四边形.
解析
【解析】
解：图中的平行四边形有2个，分别为$\boldsymbol{▱ADCF}$，$\boldsymbol{▱BDFC}$。
理由：
因为E为AC的中点，所以$AE=CE$。
又因为$DE=EF$，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形ADCF是平行四边形。
所以$AD// CF$，$AD=CF$。
因为D为AB的中点，所以$AD=BD$，因此$BD=CF$，$BD// CF$。
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形BDFC是平行四边形。
【答案】
图中的平行四边形有2个，分别是$\boldsymbol{▱ADCF}$和$\boldsymbol{▱BDFC}$。
【知识点】
平行四边形的判定，线段中点的性质
【点评】
本题主要考查平行四边形判定定理的灵活运用，需结合线段中点的性质推导线段的数量与位置关系，属于基础几何证明题，有助于培养几何推理能力。
【难度系数】
0.7
解：图中的平行四边形有2个，分别为$\boldsymbol{▱ADCF}$，$\boldsymbol{▱BDFC}$。
理由：
因为E为AC的中点，所以$AE=CE$。
又因为$DE=EF$，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形ADCF是平行四边形。
所以$AD// CF$，$AD=CF$。
因为D为AB的中点，所以$AD=BD$，因此$BD=CF$，$BD// CF$。
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形BDFC是平行四边形。
【答案】
图中的平行四边形有2个，分别是$\boldsymbol{▱ADCF}$和$\boldsymbol{▱BDFC}$。
【知识点】
平行四边形的判定，线段中点的性质
【点评】
本题主要考查平行四边形判定定理的灵活运用，需结合线段中点的性质推导线段的数量与位置关系，属于基础几何证明题，有助于培养几何推理能力。
【难度系数】
0.7
【例 2】如图，在 $ △ ABC $ 中，点 $ H $ 是边 $ BC $ 上一点，延长 $ HB $ 到点 $ E $，使 $ BE = BH $，过点 $ E $ 作 $ EF // AH $ 交 $ AB $ 的延长线于点 $ F $，连接 $ AE $，$ FH $.
（1）求证：四边形 $ AEFH $ 是平行四边形.
（2）若 $ AB = AC $，$ AH ⊥ BC $，$ CH = 4 $，$ AE = 10 $，求出 $ AB $ 的长.
思路分析
思考 1：要证四边形 $ AEFH $ 是平行四边形，已经知道了 $ EF // AH $，还需要证明什么？
思考 2：在（2）的条件下，$ BH $ 的长度是多少？在 $ \mathrm{Rt} △ ABH $ 中，要求 $ AB $ 的长，还需要求哪条线段的长度？
证明：
【规律方法】
利用平行四边形的判定定理和性质可以解决有关线段相等或倍分、角的相等或互补、两直线平行等问题，一般先判定一个四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质解决有关问题.
（1）求证：四边形 $ AEFH $ 是平行四边形.
（2）若 $ AB = AC $，$ AH ⊥ BC $，$ CH = 4 $，$ AE = 10 $，求出 $ AB $ 的长.
思路分析
思考 1：要证四边形 $ AEFH $ 是平行四边形，已经知道了 $ EF // AH $，还需要证明什么？
思考 2：在（2）的条件下，$ BH $ 的长度是多少？在 $ \mathrm{Rt} △ ABH $ 中，要求 $ AB $ 的长，还需要求哪条线段的长度？
证明：
【规律方法】
利用平行四边形的判定定理和性质可以解决有关线段相等或倍分、角的相等或互补、两直线平行等问题，一般先判定一个四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质解决有关问题.
答案
思路分析
思考1:EF=AH或AE//FH.
思考2:BH的长度是4.
需要求线段AH的长度.
(1)证明:因为EF//AH,
所以∠BEF=∠BHA.
在△BEF和△BHA中,
{∠BEF=∠BHA,
BE=BH,
∠EBF=∠HBA,
所以△BEF≌△BHA(ASA),
所以EF=AH,
所以四边形AEFH是平行四边形.
(2)解:AB的长为2$\sqrt{13}$.
思考1:EF=AH或AE//FH.
思考2:BH的长度是4.
需要求线段AH的长度.
(1)证明:因为EF//AH,
所以∠BEF=∠BHA.
在△BEF和△BHA中,
{∠BEF=∠BHA,
BE=BH,
∠EBF=∠HBA,
所以△BEF≌△BHA(ASA),
所以EF=AH,
所以四边形AEFH是平行四边形.
(2)解:AB的长为2$\sqrt{13}$.
解析
【解析】
（1）证明：
因为 $EF // AH$，所以 $∠ BEF = ∠ BHA$。
在 $△ BEF$ 和 $△ BHA$ 中，
$\begin{cases}∠ BEF = ∠ BHA \\BE = BH \\∠ EBF = ∠ HBA\end{cases}$
所以 $△ BEF ≌ △ BHA$（ASA），
所以 $EF = AH$。
又因为 $EF // AH$，所以四边形 $AEFH$ 是平行四边形。
（2）解：
因为 $AB = AC$，$AH ⊥ BC$，所以 $BH = CH = 4$。
因为 $BE = BH$，所以 $EH = BE + BH = 8$。
因为 $AH ⊥ BC$，所以 $∠ AHE = 90°$。
在 $\mathrm{Rt} △ AHE$ 中，由勾股定理得：
$AH = \sqrt{AE^2 - EH^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$。
在 $\mathrm{Rt} △ ABH$ 中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = 2\sqrt{13}$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{2\sqrt{13}}$
【知识点】
平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形的判定、全等三角形及勾股定理的应用，解题关键是结合已知条件，合理运用相关定理逐步推导证明与计算。
【难度系数】
0.6
（1）证明：
因为 $EF // AH$，所以 $∠ BEF = ∠ BHA$。
在 $△ BEF$ 和 $△ BHA$ 中，
$\begin{cases}∠ BEF = ∠ BHA \\BE = BH \\∠ EBF = ∠ HBA\end{cases}$
所以 $△ BEF ≌ △ BHA$（ASA），
所以 $EF = AH$。
又因为 $EF // AH$，所以四边形 $AEFH$ 是平行四边形。
（2）解：
因为 $AB = AC$，$AH ⊥ BC$，所以 $BH = CH = 4$。
因为 $BE = BH$，所以 $EH = BE + BH = 8$。
因为 $AH ⊥ BC$，所以 $∠ AHE = 90°$。
在 $\mathrm{Rt} △ AHE$ 中，由勾股定理得：
$AH = \sqrt{AE^2 - EH^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$。
在 $\mathrm{Rt} △ ABH$ 中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = 2\sqrt{13}$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{2\sqrt{13}}$
【知识点】
平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形的判定、全等三角形及勾股定理的应用，解题关键是结合已知条件，合理运用相关定理逐步推导证明与计算。
【难度系数】
0.6
3. 如图，在 $ □ ABCD $ 中，$ F $ 是边 $ AB $ 上一点，$ G $ 是边 $ CD $ 上一点，$ AF = CG $，$ BG $ 的延长线交 $ AD $ 的延长线于点 $ E $.
（1）求证：四边形 $ DFBG $ 是平行四边形.
（2）若 $ ∠ DGE = 105° $，求 $ ∠ AFD $ 的度数.
（1）求证：四边形 $ DFBG $ 是平行四边形.
（2）若 $ ∠ DGE = 105° $，求 $ ∠ AFD $ 的度数.
答案
3.(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,
所以∠A=∠C,AD=CB.
又因为AF=CG,
所以△ADF≌△CBG(SAS),
所以DF=BG.
因为CD=AB,AF=CG,
所以DG=BF,
所以四边形DFBG是平行四边形.
(2)解:∠AFD=105°.
所以∠A=∠C,AD=CB.
又因为AF=CG,
所以△ADF≌△CBG(SAS),
所以DF=BG.
因为CD=AB,AF=CG,
所以DG=BF,
所以四边形DFBG是平行四边形.
(2)解:∠AFD=105°.
解析
【解析】
（1）证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$∠ A=∠ C$，$AD=CB$，$AB=CD$。
又
∵$AF=CG$，
∴$△ ADF≌△ CBG(\mathrm{SAS})$，
∴$DF=BG$。
∵$AB=CD$，$AF=CG$，
∴$AB-AF=CD-CG$，即$BF=DG$。
∵$DF=BG$，$BF=DG$，
∴四边形$DFBG$是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。
（2）解：
∵四边形$DFBG$是平行四边形，
∴$DF// BG$，
∴$∠ AFD=∠ ABG$。
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，
∴$∠ ABG=∠ DGE=105°$，
∴$∠ AFD=105°$。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）$\boldsymbol{105°}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题主要考查平行四边形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键。
【难度系数】
0.6
（1）证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$∠ A=∠ C$，$AD=CB$，$AB=CD$。
又
∵$AF=CG$，
∴$△ ADF≌△ CBG(\mathrm{SAS})$，
∴$DF=BG$。
∵$AB=CD$，$AF=CG$，
∴$AB-AF=CD-CG$，即$BF=DG$。
∵$DF=BG$，$BF=DG$，
∴四边形$DFBG$是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。
（2）解：
∵四边形$DFBG$是平行四边形，
∴$DF// BG$，
∴$∠ AFD=∠ ABG$。
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，
∴$∠ ABG=∠ DGE=105°$，
∴$∠ AFD=105°$。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）$\boldsymbol{105°}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题主要考查平行四边形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键。
【难度系数】
0.6
