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4. 因式分解：$x^{2}-4=$；$1 - 4y^{2}=$。
答案
4. $(x+2)(x-2)$ $(1-2y)(1+2y)$
5. 若$m - n = 2$，$m + n = 5$，则$m^{2}-n^{2}=$。
答案
5. 10
6. 对于任意整数$n$，$(n + 6)^{2}-(n + 4)^{2}$的值都可以被
4
整除。答案
6. 4
7. 把下列各式分解因式。
（1）$(a + b)^{2}-(2a - b)^{2}$；
（2）$4(m + n)^{2}-9(m - n)^{2}$；
（3）$m^{3}n - mn^{3}$；
（4）$81a^{4}-16b^{4}$。
（1）$(a + b)^{2}-(2a - b)^{2}$；
（2）$4(m + n)^{2}-9(m - n)^{2}$；
（3）$m^{3}n - mn^{3}$；
（4）$81a^{4}-16b^{4}$。
答案
7. (1) 解:$(a+b)^{2}-(2a-b)^{2}$
原式$=[(a+b)+(2a-b)][(a+b)-(2a-b)]$
$=3a(-a+2b)$
$=-3a(a-2b)$
(2) 解:$4(m+n)^{2}-9(m-n)^{2}$
原式$=[2(m+n)]^{2}-[3(m-n)]^{2}$
$=[2(m+n)+3(m-n)][2(m+n)-3(m-n)]$
$=(5m-n)(5n-m)$
(3) 解:原式$=mn(m^{2}-n^{2})$
$=mn(m+n)(m-n)$
(4) 解:(4) 原式$=(9a^{2}+4b^{2})(9a^{2}-4b^{2})$
$=(9a^{2}+4b^{2})·(3a+2b)(3a-2b)$
原式$=[(a+b)+(2a-b)][(a+b)-(2a-b)]$
$=3a(-a+2b)$
$=-3a(a-2b)$
(2) 解:$4(m+n)^{2}-9(m-n)^{2}$
原式$=[2(m+n)]^{2}-[3(m-n)]^{2}$
$=[2(m+n)+3(m-n)][2(m+n)-3(m-n)]$
$=(5m-n)(5n-m)$
(3) 解:原式$=mn(m^{2}-n^{2})$
$=mn(m+n)(m-n)$
(4) 解:(4) 原式$=(9a^{2}+4b^{2})(9a^{2}-4b^{2})$
$=(9a^{2}+4b^{2})·(3a+2b)(3a-2b)$
8. （1）$25×101^{2}-99^{2}×25$；
（2）$(50\frac{1}{11})^{2}-(49\frac{10}{11})^{2}$。
（2）$(50\frac{1}{11})^{2}-(49\frac{10}{11})^{2}$。
答案
8. (1) 解:原式$=25×(101^{2}-99^{2})$
$=25×(101+99)×(101-99)$
$=25×200×2$
$=10000$
(2) 解:原式$=(50\frac{1}{11}+49\frac{10}{11})×(50\frac{1}{11}-49\frac{10}{11})$
$=100×\frac{2}{11}=\frac{200}{11}$
$=25×(101+99)×(101-99)$
$=25×200×2$
$=10000$
(2) 解:原式$=(50\frac{1}{11}+49\frac{10}{11})×(50\frac{1}{11}-49\frac{10}{11})$
$=100×\frac{2}{11}=\frac{200}{11}$
如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”。如$4 = 2^{2}-0^{2}$，$12 = 4^{2}-2^{2}$，$20 = 6^{2}-4^{2}$，因此，$4$，$12$，$20$都是“和谐数”。
（1）$36$和$2020$这两个数是“和谐数”吗？为什么？
（2）请你说明“和谐数”一定是$4$的倍数。
（1）$36$和$2020$这两个数是“和谐数”吗？为什么？
（2）请你说明“和谐数”一定是$4$的倍数。
答案
(1) 解:36 和 2020 这两个数是“和谐数”.理由如下:$36=10^{2}-8^{2}$,$2020=506^{2}-504^{2}$
(2) 解:设两个连续偶数为$2n$,$2n+2$($n$为自然数),
$\because(2n+2)^{2}-(2n)^{2}=(2n+2+2n)(2n+2-2n)=(4n+2)×2=4(2n+1)$,
$\therefore4(2n+1)$能被 4 整除,
$\therefore$“和谐数”一定是 4 的倍数
(2) 解:设两个连续偶数为$2n$,$2n+2$($n$为自然数),
$\because(2n+2)^{2}-(2n)^{2}=(2n+2+2n)(2n+2-2n)=(4n+2)×2=4(2n+1)$,
$\therefore4(2n+1)$能被 4 整除,
$\therefore$“和谐数”一定是 4 的倍数
