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例1 在$\triangle ABC$中,$∠A+∠B=90^{\circ }$,且$\sin A=\frac {5}{13}$,求$\sin B$的值.
答案
解：因为∠A+∠B=90°
所以∠C=90°
在Rt△ABC中，因为$sinA= \frac {BC}{AB}=\frac {5}{13}$
所以$BC=\frac {5}{13}\ \mathrm {AB}$
所以$AC= \sqrt{AB²-BC²}=\frac {12}{13}AB$
所以$sinB=\frac {AC}{AB}=\frac {12}{13}$
所以∠C=90°
在Rt△ABC中，因为$sinA= \frac {BC}{AB}=\frac {5}{13}$
所以$BC=\frac {5}{13}\ \mathrm {AB}$
所以$AC= \sqrt{AB²-BC²}=\frac {12}{13}AB$
所以$sinB=\frac {AC}{AB}=\frac {12}{13}$
例2 如图7.2.1①所示的是第14届国际数学教育大会(ICME - 14)的会标,会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形(图②).若$EF:AH=1:3$.求$\cos ∠ABE$的值.
图7.2.1
图7.2.1
答案
解：由题意可知，AE=BF，HE=EF
所以AH=BE
因为EF：AH=1:3
所以HE：AH=1:3
不妨设HE=a，则AH=BE=3a，AE=4a
因为∠AEB=90°
所以$AB=\sqrt{AE^2+BE^2}=\sqrt{(4a)^2+(3a)^2}=5a$
所以$cos∠ABE=\frac{BE}{AB}=\frac{3a}{5a}=\frac{3}{5}$
所以AH=BE
因为EF：AH=1:3
所以HE：AH=1:3
不妨设HE=a，则AH=BE=3a，AE=4a
因为∠AEB=90°
所以$AB=\sqrt{AE^2+BE^2}=\sqrt{(4a)^2+(3a)^2}=5a$
所以$cos∠ABE=\frac{BE}{AB}=\frac{3a}{5a}=\frac{3}{5}$
1. 在$\triangle ABC$中,$∠C=90^{\circ },AC=1,BC=\sqrt {3}$,则$\sin A$的值为 ()
A.$\frac {1}{2}$
B.$\frac {\sqrt {3}}{3}$
C.$\frac {\sqrt {3}}{2}$
D.$\sqrt {3}$
A.$\frac {1}{2}$
B.$\frac {\sqrt {3}}{3}$
C.$\frac {\sqrt {3}}{2}$
D.$\sqrt {3}$
答案
C
2. 如图是一台起重机的示意图,该起重机起重臂的顶端记为点A,起重臂的底端记为点B,AD和地面垂直,垂足为D,$BC⊥AD$,垂足为C.设$∠ABC=α$,下列关系式正确的是()
A.$\sin α=\frac {AB}{BC}$
B.$\sin α=\frac {BC}{AB}$
C.$\sin α=\frac {AB}{AC}$
D.$\sin α=\frac {AC}{AB}$
(第2题)
A.$\sin α=\frac {AB}{BC}$
B.$\sin α=\frac {BC}{AB}$
C.$\sin α=\frac {AB}{AC}$
D.$\sin α=\frac {AC}{AB}$
(第2题)
答案
D
