5. 如图,已知$\odot O$的半径为2,A为$\odot O$外一点,过点A作$\odot O$的一条切线AB,切点是B,AO的延长线交$\odot O$于点C,若$\angle BAC= 30^{\circ}$,则劣弧$\widehat{BC}$的长为______。
答案
$\frac{4π}{3}$
解析
证明：连接OB。
∵AB是$\odot O$的切线，
∴OB⊥AB，即$\angle ABO=90°$。
在$Rt\triangle ABO$中，$\angle BAC=30°$，
∴$\angle AOB=90° - 30°=60°$。
∵$\angle AOB + \angle BOC=180°$，
∴$\angle BOC=180° - 60°=120°$。
∵$\odot O$的半径为2，
∴劣弧$\widehat{BC}$的长为$\frac{120° × \pi × 2}{180°}=\frac{4\pi}{3}$。
$\frac{4\pi}{3}$
∵AB是$\odot O$的切线，
∴OB⊥AB，即$\angle ABO=90°$。
在$Rt\triangle ABO$中，$\angle BAC=30°$，
∴$\angle AOB=90° - 30°=60°$。
∵$\angle AOB + \angle BOC=180°$，
∴$\angle BOC=180° - 60°=120°$。
∵$\odot O$的半径为2，
∴劣弧$\widehat{BC}$的长为$\frac{120° × \pi × 2}{180°}=\frac{4\pi}{3}$。
$\frac{4\pi}{3}$
6. 如图,已知$\odot O$是△ABC的内切圆。
(1) 若$\angle BAC= 50^{\circ}$,则$\angle BOC= $______。
(2)如图,若$\odot O$与边AB相切于点P,且AB= 19,AC= 17,BC= 16,则AP= ______。
(1) 若$\angle BAC= 50^{\circ}$,则$\angle BOC= $______。
(2)如图,若$\odot O$与边AB相切于点P,且AB= 19,AC= 17,BC= 16,则AP= ______。
答案
(1)115°
(2)10
7. 如图,△ABC的内切圆为$\odot O$,切点分别为D,E,F,$\angle A= 60^{\circ}$,BC= 7,$\odot O的半径为\sqrt{3}$。
(1)求BF+CE的值。
(2)求△ABC的周长。
(1)求BF+CE的值。
(2)求△ABC的周长。
答案
解:
(1)
∵△ABC的内切圆为⊙O,切点分别为D,E,F,
∴BF=BD,CE=CD,
∴BF+CE=BD+CD=BC=7,
故BF+CE的值是7.
(2)如图,连结OE,OF,OA.
∵⊙O是△ABC的内切圆,
切点分别为D,E,F,
∴∠OEA=90°,∠OAE=
$\frac{1}{2}$∠BAC=30°,
∴OA=2OE=2$\sqrt{3}$,
由勾股定理得AE=AF= $\sqrt{OA²−OE²}$=
$\sqrt{(2\sqrt{3})²−(\sqrt{3})²}$=3,
∴△ABC的周长是AB+BC+AC=AF+AE+CE +BF+BC=20,
故△ABC的周长是20.
(1)
∵△ABC的内切圆为⊙O,切点分别为D,E,F,
∴BF=BD,CE=CD,
∴BF+CE=BD+CD=BC=7,
故BF+CE的值是7.
(2)如图,连结OE,OF,OA.
∵⊙O是△ABC的内切圆,
切点分别为D,E,F,
∴∠OEA=90°,∠OAE=
$\frac{1}{2}$∠BAC=30°,
∴OA=2OE=2$\sqrt{3}$,
由勾股定理得AE=AF= $\sqrt{OA²−OE²}$=
$\sqrt{(2\sqrt{3})²−(\sqrt{3})²}$=3,
∴△ABC的周长是AB+BC+AC=AF+AE+CE +BF+BC=20,
故△ABC的周长是20.
8. 如图,在△ABC中,BA= BC,以AB为直径的$\odot O$分别交AC,BC于点D,E,在BC的延长线上取一点F,连结AF,使$\angle CAF= \frac{1}{2}\angle ABC$。
(1)求证：AF与$\odot O$相切。
(2)若AC= 2$\sqrt{10}$,$\tan\angle ABC= \frac{3}{4}$,求$\odot O$的半径。
(1)求证：AF与$\odot O$相切。
(2)若AC= 2$\sqrt{10}$,$\tan\angle ABC= \frac{3}{4}$,求$\odot O$的半径。
答案
解:
(1)证明:连结BD,如图,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠ABD+∠CAB=90°.
∵BA=BC,
∴BD平分∠ABC,即∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC.
∵∠CAF=$\frac{1}{2}$∠ABC,
∴∠ABD=∠CAF,
∴∠CAF+∠CAB=90°,即BA⊥FA,
∴AF与⊙O相切
(2)如图,连结AE.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°,
tan∠ABC=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{3}{4}$,
设AE=3x,EB=4x,
∴AB= $\sqrt{AE²+BE²}$=5x,
∴BC=BA=5x,
∴CE=BC−BE=x.
在Rt△ACE中,AC²=CE²+AE²,
即(2$\sqrt{10}$)²=x²+(3x)²,
∴x=2.
∴BA=10,
∴⊙O的半径为5.
(1)证明:连结BD,如图,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠ABD+∠CAB=90°.
∵BA=BC,
∴BD平分∠ABC,即∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC.
∵∠CAF=$\frac{1}{2}$∠ABC,
∴∠ABD=∠CAF,
∴∠CAF+∠CAB=90°,即BA⊥FA,
∴AF与⊙O相切
(2)如图,连结AE.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°,
tan∠ABC=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{3}{4}$,
设AE=3x,EB=4x,
∴AB= $\sqrt{AE²+BE²}$=5x,
∴BC=BA=5x,
∴CE=BC−BE=x.
在Rt△ACE中,AC²=CE²+AE²,
即(2$\sqrt{10}$)²=x²+(3x)²,
∴x=2.
∴BA=10,
∴⊙O的半径为5.
