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1. (2024，浙江，10)如图，在$□ ABCD$中，$AC$，$BD$相交于点$O$，$AC = 2$，$BD = 2\sqrt{3}$. 过点$A$作$AE ⊥ BC$交$BC$于点$E$，记$BE$长为$x$，$BC$长为$y$. 当$x$，$y$的值发生变化时，下列代数式的值不变的是(
A.$x + y$
B.$x - y$
C.$xy$
D.$x^{2} + y^{2}$
C
).A.$x + y$
B.$x - y$
C.$xy$
D.$x^{2} + y^{2}$
答案
1. C
2. 如图，$P$是面积为$S$的$□ ABCD$内任意一点，$△ PAD$的面积为$S_{1}$，$△ PBC$的面积为$S_{2}$，则(
A.$S_{1} + S_{2} ＞ \frac{S}{2}$
B.$S_{1} + S_{2} ＜ \frac{S}{2}$
C.$S_{1} + S_{2} = \frac{S}{2}$
D.$S_{1} + S_{2}$的大小与点$P$的位置有关
C
).A.$S_{1} + S_{2} ＞ \frac{S}{2}$
B.$S_{1} + S_{2} ＜ \frac{S}{2}$
C.$S_{1} + S_{2} = \frac{S}{2}$
D.$S_{1} + S_{2}$的大小与点$P$的位置有关
答案
2. C
3. 如图，在$□ ABCD$中，$AC$与$BD$相交于点$O$，$AE ⊥ BD$于点$E$，$∠ BAE = 45°$，$AE = 2\ \mathrm{cm}$，$AC + BD = 12\ \mathrm{cm}$，则$△ COD$的周长为
(6+2$\sqrt{2}$)
$\mathrm{cm}$.答案
3. (6+2$\sqrt{2}$)
4. 以$□ ABCD$对角线的交点$O$为原点，平行于$BC$边的直线为$x$轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 若点$A$的坐标为$(-4, 2)$，则点$C$的坐标为
(4，-2)
.答案
4. (4，-2)
5. 如图，在$□ ABCD$中，$AB = 5$，$AD = 8$，$BE$平分$∠ ABC$，交$AD$于点$E$，$CF$平分$∠ BCD$，交$AD$于点$F$.
（1）求$EF$的长；
（2）猜想$BE$与$CF$有什么位置关系，并证明.
（1）求$EF$的长；
（2）猜想$BE$与$CF$有什么位置关系，并证明.
答案
5. 解：(1)
∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD=5，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB.
∴AE=AB=5，
同理 DF=DC=5，
∴DE=AD-AE=3，
∴EF=DF-DE=2.
(2)BE⊥CF.
证明：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°.
又∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠FCB=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠EBC+∠FCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠BCD)=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴BE⊥CF.
∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD=5，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB.
∴AE=AB=5，
同理 DF=DC=5，
∴DE=AD-AE=3，
∴EF=DF-DE=2.
(2)BE⊥CF.
证明：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°.
又∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠FCB=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠EBC+∠FCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠BCD)=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴BE⊥CF.
