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一、选择题
1. 若如图1所示的两个四边形相似，则$∠α$是()
A. $87°$
B. $60°$
C. $75°$
D. $120°$
1. 若如图1所示的两个四边形相似，则$∠α$是()
A. $87°$
B. $60°$
C. $75°$
D. $120°$
答案
解：
因为两个四边形相似，所以对应角相等，且四边形内角和为$(4-2)×180°=360°$。
则$∠α = 360° - 60° - 75° - 150° = 75°$。
故选C。
因为两个四边形相似，所以对应角相等，且四边形内角和为$(4-2)×180°=360°$。
则$∠α = 360° - 60° - 75° - 150° = 75°$。
故选C。
2. 若四边形$ABCD$与四边形$A'B'C'D'$相似，$AB$与$A'B'$、$BC$与$B'C'$对应，且$AB:A'B' = 1:2$，已知$BC = 8$，则$B'C'$的长是()
A.$4$
B.$16$
C.$24$
D.$64$
A.$4$
B.$16$
C.$24$
D.$64$
答案
B
解析
因为四边形$ABCD$与四边形$A'B'C'D'$相似，且$AB$与$A'B'$、$BC$与$B'C'$对应，根据相似多边形对应边成比例的性质，可得$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$。已知$AB:A'B' = 1:2$，$BC = 8$，代入得$\frac{1}{2}=\frac{8}{B'C'}$，解得$B'C'=16$。
3. 如图2，有三个矩形，其中相似的是()
A.甲和乙
B.甲和丙
C.乙和丙
D.没有相似的矩形
A.甲和乙
B.甲和丙
C.乙和丙
D.没有相似的矩形
答案
B
解析
要判断矩形是否相似，需验证对应边的比是否相等，因为矩形四个角均为直角。
甲的邻边比：$3:2=\frac{3}{2}$；
乙的邻边比：$2.5:1.5=\frac{5}{3}$；
丙的邻边比：$1.5:1=\frac{3}{2}$；
甲和丙的邻边比相等，故甲和丙相似。
甲的邻边比：$3:2=\frac{3}{2}$；
乙的邻边比：$2.5:1.5=\frac{5}{3}$；
丙的邻边比：$1.5:1=\frac{3}{2}$；
甲和丙的邻边比相等，故甲和丙相似。
4. 若$△ ABC$与$△ A'B'C'$相似，$∠ A=∠ A' = 55°$，$∠ B=∠ B' = 100°$，则$∠ C'$的度数是()
A.$55°$
B.$100°$
C.$35°$
D.$25°$
A.$55°$
B.$100°$
C.$35°$
D.$25°$
答案
D
解析
1. 根据三角形内角和定理，计算△ABC中∠C的度数：∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 55° - 100° = 25°；
2. 因为△ABC与△A'B'C'相似，且∠A=∠A'，∠B=∠B'，所以∠C'=∠C=25°。
2. 因为△ABC与△A'B'C'相似，且∠A=∠A'，∠B=∠B'，所以∠C'=∠C=25°。
5. 下列各组线段中，是比例线段的是()
A.$1\mathrm{cm}$，$3\mathrm{cm}$，$4\mathrm{cm}$，$6\mathrm{cm}$
B.$30\mathrm{cm}$，$12\mathrm{cm}$，$0.8\mathrm{cm}$，$0.2\mathrm{cm}$
C.$0.1\mathrm{cm}$，$0.2\mathrm{cm}$，$0.3\mathrm{cm}$，$0.4\mathrm{cm}$
D.$12\mathrm{cm}$，$16\mathrm{cm}$，$45\mathrm{cm}$，$60\mathrm{cm}$
A.$1\mathrm{cm}$，$3\mathrm{cm}$，$4\mathrm{cm}$，$6\mathrm{cm}$
B.$30\mathrm{cm}$，$12\mathrm{cm}$，$0.8\mathrm{cm}$，$0.2\mathrm{cm}$
C.$0.1\mathrm{cm}$，$0.2\mathrm{cm}$，$0.3\mathrm{cm}$，$0.4\mathrm{cm}$
D.$12\mathrm{cm}$，$16\mathrm{cm}$，$45\mathrm{cm}$，$60\mathrm{cm}$
答案
D
解析
判断四条线段是否为比例线段，需将每组线段按从小到大排序，验证前两条线段的比是否等于后两条线段的比（或交叉相乘是否相等）：
选项A：排序为1,3,4,6，$1×6=6$，$3×4=12$，$6≠12$，不是比例线段；
选项B：排序为0.2,0.8,12,30，$0.2×30=6$，$0.8×12=9.6$，$6≠9.6$，不是比例线段；
选项C：排序为0.1,0.2,0.3,0.4，$0.1×0.4=0.04$，$0.2×0.3=0.06$，$0.04≠0.06$，不是比例线段；
选项D：排序为12,16,45,60，$12×60=720$，$16×45=720$，$720=720$，是比例线段。
选项A：排序为1,3,4,6，$1×6=6$，$3×4=12$，$6≠12$，不是比例线段；
选项B：排序为0.2,0.8,12,30，$0.2×30=6$，$0.8×12=9.6$，$6≠9.6$，不是比例线段；
选项C：排序为0.1,0.2,0.3,0.4，$0.1×0.4=0.04$，$0.2×0.3=0.06$，$0.04≠0.06$，不是比例线段；
选项D：排序为12,16,45,60，$12×60=720$，$16×45=720$，$720=720$，是比例线段。
二、填空题
1. 在比例尺为$1:200000$的交通游览图上，国内首座跨越地震活动断层特大桥——海南海文大桥长约$2.8\mathrm{cm}$，则实际长度约为。
1. 在比例尺为$1:200000$的交通游览图上，国内首座跨越地震活动断层特大桥——海南海文大桥长约$2.8\mathrm{cm}$，则实际长度约为。
答案
解：设海文大桥的实际长度为$ x \, \mathrm{cm} $。
根据比例尺的定义，得：
$\frac{1}{200000} = \frac{2.8}{x}$
解得：$ x = 2.8 × 200000 = 560000 $
$ 560000 \, \mathrm{cm} = 5.6 \, \mathrm{km} $
答：实际长度约为$ 5.6 \, \mathrm{km} $。
根据比例尺的定义，得：
$\frac{1}{200000} = \frac{2.8}{x}$
解得：$ x = 2.8 × 200000 = 560000 $
$ 560000 \, \mathrm{cm} = 5.6 \, \mathrm{km} $
答：实际长度约为$ 5.6 \, \mathrm{km} $。
2. 若$△ ABC∽△ DEF$，且$∠ A = 70°$，$∠ B = 60°$，则$∠ D=$，$∠ F=$。
答案
70°，50°
解析
1. 在△ABC中，由三角形内角和为180°，可得∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-60°=50°；
2. 因为△ABC∽△DEF，根据相似三角形对应角相等的性质，所以∠D=∠A=70°，∠F=∠C=50°。
2. 因为△ABC∽△DEF，根据相似三角形对应角相等的性质，所以∠D=∠A=70°，∠F=∠C=50°。
3. 如果两个相似多边形的最长边分别为$35\mathrm{cm}$和$14\mathrm{cm}$，那么它们对应的最短边分别为$5\mathrm{cm}$和$\mathrm{cm}$。
答案
2
解析
根据相似多边形对应边成比例的性质，设所求最短边为$x\mathrm{cm}$，则$\frac{35}{14}=\frac{5}{x}$。化简$\frac{35}{14}=\frac{5}{2}$，代入得$\frac{5}{2}=\frac{5}{x}$，解得$x=2$。
4. 已知$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$，则$\frac{x + y}{y}=$，$\frac{x}{x + y}=$，$\frac{x - y}{x + y}=$。
答案
$\frac{5}{3}$，$\frac{2}{5}$，$-\frac{1}{5}$
解析
已知$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$，设$x=2k$，$y=3k$（$k≠0$）。
1. $\frac{x+y}{y}=\frac{2k+3k}{3k}=\frac{5}{3}$；
2. $\frac{x}{x+y}=\frac{2k}{2k+3k}=\frac{2}{5}$；
3. $\frac{x-y}{x+y}=\frac{2k-3k}{2k+3k}=-\frac{1}{5}$。
1. $\frac{x+y}{y}=\frac{2k+3k}{3k}=\frac{5}{3}$；
2. $\frac{x}{x+y}=\frac{2k}{2k+3k}=\frac{2}{5}$；
3. $\frac{x-y}{x+y}=\frac{2k-3k}{2k+3k}=-\frac{1}{5}$。
5. 如果两个相似多边形一组对应边的长分别为$3\mathrm{cm}$，$4.5\mathrm{cm}$，那么它们的相似比为。
答案
$\frac{2}{3}$
解析
根据相似多边形相似比的定义，相似比为对应边的长度之比。已知一组对应边的长分别为$3\mathrm{cm}$和$4.5\mathrm{cm}$，则相似比为$3:4.5=\frac{3}{4.5}=\frac{2}{3}$。
6. 在比例尺为$1:2000$的地图上，一条长为$6\mathrm{cm}$的线段实际长为$\mathrm{m}$。
答案
120
解析
根据比例尺的定义，比例尺=图上距离:实际距离。设实际长为$ x \, \mathrm{cm} $，则$ 6:x = 1:2000 $，解得$ x = 6 × 2000 = 12000 $。又因为$ 1 \, \mathrm{m} = 100 \, \mathrm{cm} $，所以$ 12000 \, \mathrm{cm} = 120 \, \mathrm{m} $。
