【例 1】已知 $ m $ 是一元二次方程 $ x^{2}-3x + 1 = 0 $ 的一个根，求下列各代数式的值：
（1）$(m - 4)(m + 1)$。
（2）$m^{2}+\frac{1}{m^{2}}$。

例 1 解：(1)由条件可知 $ m^{2}-3 m+1=0 $，
$\therefore m^{2}-3 m=-1$，
$\therefore(m-4)(m+1)=m^{2}+m-4 m-4=m^{2}-3 m-4$
$=-1-4=-5$。
(2)由条件可知 $ m^{2}-3 m+1=0 $，
$\therefore m^{2}+1=3 m$，
$\therefore m^{2}+\frac{1}{m^{2}}=(m+\frac{1}{m})^{2}-2=(\frac{m^{2}+1}{m})^{2}-2=(\frac{3 m}{m})^{2}$
$-2=3^{2}-2=7$。

【变式】将方程 $(x - 1)(x + 3) = 1$ 化成一般形式，为。

变式 $ x^{2}+2 x-4=0 $

【例 2】解下列方程：
（1）$2x^{2}-7x + 5 = 0$（用公式法解）。
（2）$3x^{2}-10x - 5 = 0$（用配方法解）。
（3）$2x(x - 3) = 9 - 3x$（用因式分解法解）。
（4）$x^{2}+6x + 4 = 0$（用配方法解）。

例 2 解：(1)$ 2 x^{2}-7 x+5=0 $，
$ b^{2}-4 a c=(-7)^{2}-4 × 2 × 5=9 $，
$ x=\frac{7 \pm \sqrt{9}}{2 × 2}=\frac{7 \pm 3}{4} $，
$ x_{1}=1, x_{2}=\frac{5}{2} $。
(2)$ 3 x^{2}-10 x-5=0 $，
$ 3 x^{2}-10 x=5 $，
$ x^{2}-\frac{10}{3} x=\frac{5}{3} $，
配方得 $ x^{2}-\frac{10}{3} x+(\frac{5}{3})^{2}=\frac{5}{3}+(\frac{5}{3})^{2} $，
$ (x-\frac{5}{3})^{2}=\frac{40}{9} $，
则 $ x-\frac{5}{3}=\frac{2 \sqrt{10}}{3} $，或 $ x-\frac{5}{3}=-\frac{2 \sqrt{10}}{3} $，
$ x_{1}=\frac{5+2 \sqrt{10}}{3}, x_{2}=\frac{5-2 \sqrt{10}}{3} $。
(3)$ 2 x(x-3)=9-3 x $，
$ 2 x(x-3)+3(x-3)=0 $，
$ (x-3)(2 x+3)=0 $，
$ x-3=0 $，或 $ 2 x+3=0 $，
$ x_{1}=3, x_{2}=-\frac{3}{2} $。
(4)$ x^{2}+6 x+4=0 $，
$ x^{2}+6 x=-4 $，
$ x^{2}+6 x+9=-4+9 $，
$ (x+3)^{2}=5 $，
$ x+3=\pm \sqrt{5} $，
$ x_{1}=-3+\sqrt{5}, x_{2}=-3-\sqrt{5} $。

【变式 1】某节数学课上，甲、乙、丙三名同学都在黑板上解关于 $ x $ 的方程 $ x(x - 1) = 3(x - 1) $，下列解法完全正确的个数为()


A.$ 3 $
B.$ 2 $
C.$ 1 $
D.$ 0 $

变式 1 C

【变式 2】用较简便的方法解下列方程：① $ 2x^{2}-50 = 0 $；② $ 9x^{2}-12x - 1 = 0 $；③ $ 8x^{2}+15x + 6 = 0 $；④ $ 3(2x - 1)^{2} = 2(2x - 1) $。下列说法正确的是()

A.依次为开平方法、配方法、公式法、因式分解法
B.依次为因式分解法、公式法、配方法、开平方法
C.①用开平方法，②③用公式法，④用因式分解法
D.①用开平方法，②用公式法，③④用因式分解法

变式 2 C