6. 求下列各式的值.
(1)$\sqrt{36}$；
(2)$-\sqrt{0.81}$；
(3)$\pm\sqrt{\frac{49}{9}}$.

(1)
根据平方根的定义，若$x^{2}=a$，则$x$叫做$a$的平方根，因为$6^{2} = 36$，所以$\sqrt{36}=6$。
(2)
因为$0.9^{2}=0.81$，所以$\sqrt{0.81} = 0.9$，则$-\sqrt{0.81}=- 0.9$。
(3)
因为$(\pm\frac{7}{3})^{2}=\frac{49}{9}$，所以$\pm\sqrt{\frac{49}{9}}=\pm\frac{7}{3}$。

7. 求下列各式中的$x$：
(1)$x^2= 16$；
(2)$4x^2= 121$；
(3)$(x-1)^2= 9$.

(1)
由$x^{2} = 16$，根据平方根的定义，开平方得：
$x=\pm\sqrt{16}=\pm 4$
(2)
由$4x^{2}=121$，
等式两边同时除以$4$，得$x^{2}=\frac{121}{4}$，
根据平方根的定义，开平方得：
$x = \pm\sqrt{\frac{121}{4}}=\pm\frac{11}{2}$
(3)
由$(x - 1)^{2}=9$，根据平方根的定义，开平方得：
$x - 1=\pm\sqrt{9}=\pm 3$
当$x - 1 = 3$时，$x=4$；
当$x - 1=-3$时，$x=-2$。
综上，$x = 4$或$x=-2$。

8. 比较$\sqrt{a+1}与\sqrt{2a}$的大小.

要比较$\sqrt{a+1}$与$\sqrt{2a}$的大小，需先确定二次根式有意义的条件：$a+1≥0$且$2a≥0$，解得$a≥0$。
情况1：当$0≤ a ＜ 1$时
$a+1 - 2a = 1 - a ＞ 0$，即$a+1 ＞ 2a$，
$\because$二次根式的被开方数越大，其值越大，
$\therefore \sqrt{a+1} ＞ \sqrt{2a}$。
情况2：当$a = 1$时
$a+1 = 2a = 2$，
$\therefore \sqrt{a+1} = \sqrt{2a} = \sqrt{2}$。
情况3：当$a ＞ 1$时
$a+1 - 2a = 1 - a ＜ 0$，即$a+1 ＜ 2a$，
$\because$二次根式的被开方数越大，其值越大，
$\therefore \sqrt{a+1} ＜ \sqrt{2a}$。
综上：当$0≤ a ＜ 1$时，$\sqrt{a+1} ＞ \sqrt{2a}$；当$a = 1$时，$\sqrt{a+1} = \sqrt{2a}$；当$a ＞ 1$时，$\sqrt{a+1} ＜ \sqrt{2a}$。