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1. 填空
(1) 把一个长、宽、高分别为 $5cm$、$4cm$、$6cm$ 的长方体削成一个高是 $6cm$ 的最大圆柱，这个圆柱的体积是($\ \ \ \ \ \ $)$cm^{3}$。再把这个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积比圆柱少($\ \ \ \ \ \ $)$cm^{3}$。
(2) 在比例尺是 $1:3000$ 的平面图上，量得一梯形地的上底是 $3cm$，下底是 $5cm$，高也是 $5cm$。这块地的实际面积是($\ \ \ \ \ \ $)$m^{2}$。
(3) 在比例尺是 $8:1$ 的图纸上，量得一零件的长是 $2.4cm$，那么这个零件的实际长度是($\ \ \ \ \ \ $)$cm$。
(4) $A× B = C$（$A$，$B$，$C$ 均不为 $0$），如果 $B$ 一定，那么 $A$ 与 $C$ 成($\ \ \ \ \ \ $)比例；如果 $C$ 一定，那么 $A$ 与 $B$ 成($\ \ \ \ \ \ $)比例。
(1) 把一个长、宽、高分别为 $5cm$、$4cm$、$6cm$ 的长方体削成一个高是 $6cm$ 的最大圆柱，这个圆柱的体积是($\ \ \ \ \ \ $)$cm^{3}$。再把这个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积比圆柱少($\ \ \ \ \ \ $)$cm^{3}$。
(2) 在比例尺是 $1:3000$ 的平面图上，量得一梯形地的上底是 $3cm$，下底是 $5cm$，高也是 $5cm$。这块地的实际面积是($\ \ \ \ \ \ $)$m^{2}$。
(3) 在比例尺是 $8:1$ 的图纸上，量得一零件的长是 $2.4cm$，那么这个零件的实际长度是($\ \ \ \ \ \ $)$cm$。
(4) $A× B = C$（$A$，$B$，$C$ 均不为 $0$），如果 $B$ 一定，那么 $A$ 与 $C$ 成($\ \ \ \ \ \ $)比例；如果 $C$ 一定，那么 $A$ 与 $B$ 成($\ \ \ \ \ \ $)比例。
答案
(1) $75.36$，$50.24$
(2) $18000$
(3) $0.3$
(4) 正，反
(2) $18000$
(3) $0.3$
(4) 正，反
解析
(1)
①最大圆柱体体积：以长方体底面（长 5cm、宽 4cm）为圆柱底面，圆柱高为 6cm。
圆柱底面积最大时，直径为 4cm（长方体宽），半径 $r=2cm$，
体积 $V=π×2^2×6=75.36 \ {cm}^3$（取 $π≈3.14$）。
②最大圆锥体积为同圆柱等底等高圆锥体积的 $\frac{1}{3}$，
减少体积为圆柱体积的 $\frac{2}{3}$，即 $75.36×\frac{2}{3}=50.24 \ {cm}^3$。
(2)
比例尺 $1:3000$，实际距离为图上距离的 3000 倍，
上底 $3×3000=9000 \ {cm}=90 \ {m}$，
下底 $5×3000=150 \ {m}$，高 $5×3000=150 \ {m}$，
梯形面积 $S=\frac{(90+150)×150}{2}=18000 \ {m}^2$。
(3)
比例尺 $8:1$，实际长度为图上长度除以比例，
零件实际长度 $2.4 ÷ 8=0.3 \ {cm}$。
(4)
$A×B=C$，
$B$ 一定时，$C÷A=B$（常数），$A$ 与 $C$ 成正比例；
$C$ 一定时，$A×B=C$（常数），$A$ 与 $B$ 成反比例。
①最大圆柱体体积：以长方体底面（长 5cm、宽 4cm）为圆柱底面，圆柱高为 6cm。
圆柱底面积最大时，直径为 4cm（长方体宽），半径 $r=2cm$，
体积 $V=π×2^2×6=75.36 \ {cm}^3$（取 $π≈3.14$）。
②最大圆锥体积为同圆柱等底等高圆锥体积的 $\frac{1}{3}$，
减少体积为圆柱体积的 $\frac{2}{3}$，即 $75.36×\frac{2}{3}=50.24 \ {cm}^3$。
(2)
比例尺 $1:3000$，实际距离为图上距离的 3000 倍，
上底 $3×3000=9000 \ {cm}=90 \ {m}$，
下底 $5×3000=150 \ {m}$，高 $5×3000=150 \ {m}$，
梯形面积 $S=\frac{(90+150)×150}{2}=18000 \ {m}^2$。
(3)
比例尺 $8:1$，实际长度为图上长度除以比例，
零件实际长度 $2.4 ÷ 8=0.3 \ {cm}$。
(4)
$A×B=C$，
$B$ 一定时，$C÷A=B$（常数），$A$ 与 $C$ 成正比例；
$C$ 一定时，$A×B=C$（常数），$A$ 与 $B$ 成反比例。
2. 选择
(1) 正比例关系的图象是一条($\ \ \ \ \ \ $)。
A. 直线
B. 曲线
C. 不一定
(2) 在比例尺是($\ \ \ \ \ \ $)的平面图上，$3$ 厘米的线段表示实际距离 $300$ 米。
A. $1:100$
B. $1:10000$
C. $10000:1$
(3) 已知 $\frac{1}{3}x = 3y$，则 $x$ 和 $y$($\ \ \ \ \ \ $)。
A. 成正比例
B. 成反比例
C. 不成比例
(1) 正比例关系的图象是一条($\ \ \ \ \ \ $)。
A. 直线
B. 曲线
C. 不一定
(2) 在比例尺是($\ \ \ \ \ \ $)的平面图上，$3$ 厘米的线段表示实际距离 $300$ 米。
A. $1:100$
B. $1:10000$
C. $10000:1$
(3) 已知 $\frac{1}{3}x = 3y$，则 $x$ 和 $y$($\ \ \ \ \ \ $)。
A. 成正比例
B. 成反比例
C. 不成比例
答案
(1) A
(2) B
(3) A
(2) B
(3) A
解析
(1) 正比例关系表示两个变量之间的关系，可以表示为 $y=kx$（$k$ 是常数），其图象是一条直线，所以正比例关系的图象是一条直线。
选项分析：
A：直线——正确。
B：曲线——错误。
C：不一定——错误。
(2) 比例尺表示的是图上的距离表示的实际距离的比值，
$300米=300× 100=30000厘米$，
所以比例尺为 $3:30000=1:10000$。
选项分析：
A：$1:100$——错误。
B：$1:10000$——正确。
C：$10000:1$——错误。
(3) 已知 $\frac{1}{3}x = 3y$，可以化简为 $x = 9y$，可以看出 $x$ 和 $y$ 是正比例关系。
选项分析：
A：成正比例——正确。
B：成反比例——错误。
C：不成比例——错误。
选项分析：
A：直线——正确。
B：曲线——错误。
C：不一定——错误。
(2) 比例尺表示的是图上的距离表示的实际距离的比值，
$300米=300× 100=30000厘米$，
所以比例尺为 $3:30000=1:10000$。
选项分析：
A：$1:100$——错误。
B：$1:10000$——正确。
C：$10000:1$——错误。
(3) 已知 $\frac{1}{3}x = 3y$，可以化简为 $x = 9y$，可以看出 $x$ 和 $y$ 是正比例关系。
选项分析：
A：成正比例——正确。
B：成反比例——错误。
C：不成比例——错误。
3. $A$，$B$ 两地相距 $420$ 千米，在一幅地图上量得这两地之间的距离是 $6$ 厘米。在这幅地图上还量得 $C$，$D$ 两地的距离是 $10$ 厘米，则 $C$，$D$ 两地的实际距离是多少？（用两种方法计算）
答案
方法一：比例法
1. 地图比例尺 = 图上距离 : 实际距离 = 6厘米 : 420千米 = 6厘米 : 42000000厘米 = 1 : 7000000。
2. 设C，D两地实际距离为$ x $厘米，由比例尺得：$ 1:7000000 = 10:x $，解得$ x = 70000000 $厘米。
3. $ 70000000 $厘米 = 700千米。
方法二：倍数法
1. 图上1厘米代表实际距离：$ 420 ÷ 6 = 70 $千米/厘米。
2. C，D两地实际距离：$ 10 × 70 = 700 $千米。
结论：C，D两地的实际距离是700千米。
1. 地图比例尺 = 图上距离 : 实际距离 = 6厘米 : 420千米 = 6厘米 : 42000000厘米 = 1 : 7000000。
2. 设C，D两地实际距离为$ x $厘米，由比例尺得：$ 1:7000000 = 10:x $，解得$ x = 70000000 $厘米。
3. $ 70000000 $厘米 = 700千米。
方法二：倍数法
1. 图上1厘米代表实际距离：$ 420 ÷ 6 = 70 $千米/厘米。
2. C，D两地实际距离：$ 10 × 70 = 700 $千米。
结论：C，D两地的实际距离是700千米。
解析
【分析】
这是一道比例尺应用的题目，我们可以从两个角度思考解题方法：
方法一思路：先根据A、B两地的图上距离和实际距离求出地图的比例尺，比例尺是图上距离与实际距离的比，注意单位要统一；再根据比例尺的定义，设C、D两地实际距离为未知数，列出比例式求解，最后将结果转换为合适的单位。
方法二思路：先计算出地图上1厘米代表的实际距离，用A、B两地的实际距离除以其图上距离即可得到；再用这个单位图上距离对应的实际距离乘以C、D两地的图上距离，就能得到C、D两地的实际距离。
【解析】
方法一：比例法
1. 统一单位：420千米 = 42000000厘米
2. 计算比例尺：地图比例尺 = 图上距离:实际距离 = 6厘米:42000000厘米 = 1:7000000
3. 设C、D两地的实际距离为$x$厘米，根据比例尺的定义列比例式：
$\frac{1}{7000000}=\frac{10}{x}$
解得：$x=10×7000000=70000000$
4. 单位转换：70000000厘米 = 700千米
方法二：倍数法
1. 计算地图上1厘米代表的实际距离：$420÷6=70$（千米/厘米）
2. 计算C、D两地的实际距离：$10×70=700$（千米）
【答案】
C，D两地的实际距离是700千米。
【知识点】
比例尺的应用、比例的基本性质、长度单位换算
【点评】
本题考查比例尺的实际应用，通过两种方法解题，能帮助学生深化对比例尺概念的理解，解题关键是注意单位的统一，以及准确把握图上距离与实际距离的比例关系。
【难度系数】
0.7
这是一道比例尺应用的题目，我们可以从两个角度思考解题方法：
方法一思路：先根据A、B两地的图上距离和实际距离求出地图的比例尺，比例尺是图上距离与实际距离的比，注意单位要统一；再根据比例尺的定义，设C、D两地实际距离为未知数，列出比例式求解，最后将结果转换为合适的单位。
方法二思路：先计算出地图上1厘米代表的实际距离，用A、B两地的实际距离除以其图上距离即可得到；再用这个单位图上距离对应的实际距离乘以C、D两地的图上距离，就能得到C、D两地的实际距离。
【解析】
方法一：比例法
1. 统一单位：420千米 = 42000000厘米
2. 计算比例尺：地图比例尺 = 图上距离:实际距离 = 6厘米:42000000厘米 = 1:7000000
3. 设C、D两地的实际距离为$x$厘米，根据比例尺的定义列比例式：
$\frac{1}{7000000}=\frac{10}{x}$
解得：$x=10×7000000=70000000$
4. 单位转换：70000000厘米 = 700千米
方法二：倍数法
1. 计算地图上1厘米代表的实际距离：$420÷6=70$（千米/厘米）
2. 计算C、D两地的实际距离：$10×70=700$（千米）
【答案】
C，D两地的实际距离是700千米。
【知识点】
比例尺的应用、比例的基本性质、长度单位换算
【点评】
本题考查比例尺的实际应用，通过两种方法解题，能帮助学生深化对比例尺概念的理解，解题关键是注意单位的统一，以及准确把握图上距离与实际距离的比例关系。
【难度系数】
0.7
4. 一个底面直径和高都是 $6cm$ 的圆柱，在它的上、下底面的正中央凿开一个边长为 $2cm$ 的正方形孔（上下贯通），这时剩下的物体与原圆柱相比，体积减少了多少？表面积增加了多少？
答案
体积减少：$2×2×6=24\,\mathrm{cm}^3$
表面积增加：$4×(2×6)-2×(2×2)=48-8=40\,\mathrm{cm}^2$
答：体积减少了$24\,\mathrm{cm}^3$，表面积增加了$40\,\mathrm{cm}^2$。
表面积增加：$4×(2×6)-2×(2×2)=48-8=40\,\mathrm{cm}^2$
答：体积减少了$24\,\mathrm{cm}^3$，表面积增加了$40\,\mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们分两部分思考：
1. 体积减少量：凿开的上下贯通的正方形孔是一个长方体，体积减少的部分就是这个长方体的体积，只需用正方形的面积乘圆柱的高即可计算。
2. 表面积增加量：凿孔后，圆柱内部新增了4个长方形侧面，这是表面积增加的部分；但上下底面各被挖去一个正方形，这是表面积减少的部分，用新增的4个长方形面积减去挖去的两个正方形面积，就是最终表面积的增加量。
【解析】
1. 计算体积减少量：
凿去的部分是长方体，长方体底面积为正方形面积：$2×2=4\mathrm{cm}^2$，高等于圆柱的高$6\mathrm{cm}$。
根据长方体体积公式$V=Sh$，可得体积减少量：
$2×2×6=24\mathrm{cm}^3$
2. 计算表面积增加量：
新增的内部表面积是4个长$6\mathrm{cm}$、宽$2\mathrm{cm}$的长方形面积：$4×(2×6)=48\mathrm{cm}^2$；
上下底面共减少2个边长为$2\mathrm{cm}$的正方形面积：$2×(2×2)=8\mathrm{cm}^2$；
因此表面积增加量为：$48-8=40\mathrm{cm}^2$
【答案】
体积减少了$24\mathrm{cm}^3$，表面积增加了$40\mathrm{cm}^2$。
【知识点】
长方体体积计算，表面积变化分析
【点评】
本题考查立体图形的体积与表面积变化，核心是准确判断凿孔后图形的变化：体积减少的是凿去的长方体体积；表面积变化需同时考虑新增的内部侧面和减少的底面部分，解题时要仔细分析图形结构，避免遗漏计算。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们分两部分思考：
1. 体积减少量：凿开的上下贯通的正方形孔是一个长方体，体积减少的部分就是这个长方体的体积，只需用正方形的面积乘圆柱的高即可计算。
2. 表面积增加量：凿孔后，圆柱内部新增了4个长方形侧面，这是表面积增加的部分；但上下底面各被挖去一个正方形，这是表面积减少的部分，用新增的4个长方形面积减去挖去的两个正方形面积，就是最终表面积的增加量。
【解析】
1. 计算体积减少量：
凿去的部分是长方体，长方体底面积为正方形面积：$2×2=4\mathrm{cm}^2$，高等于圆柱的高$6\mathrm{cm}$。
根据长方体体积公式$V=Sh$，可得体积减少量：
$2×2×6=24\mathrm{cm}^3$
2. 计算表面积增加量：
新增的内部表面积是4个长$6\mathrm{cm}$、宽$2\mathrm{cm}$的长方形面积：$4×(2×6)=48\mathrm{cm}^2$；
上下底面共减少2个边长为$2\mathrm{cm}$的正方形面积：$2×(2×2)=8\mathrm{cm}^2$；
因此表面积增加量为：$48-8=40\mathrm{cm}^2$
【答案】
体积减少了$24\mathrm{cm}^3$，表面积增加了$40\mathrm{cm}^2$。
【知识点】
长方体体积计算，表面积变化分析
【点评】
本题考查立体图形的体积与表面积变化，核心是准确判断凿孔后图形的变化：体积减少的是凿去的长方体体积；表面积变化需同时考虑新增的内部侧面和减少的底面部分，解题时要仔细分析图形结构，避免遗漏计算。
【难度系数】
0.6
