例 1 已知四边形 $ABCD$ 是平行四边形，当满足条件时，$□ ABCD$ 是矩形.
【思路导析】根据矩形的定义进行判定.
【请你解答】.

∠A=90°（或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°）

根据矩形的定义，有一个角是直角的平行四边形是矩形。因为四边形ABCD是平行四边形，所以当其中一个角为直角时，即∠A=90°（或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°），□ABCD是矩形。

例 2 (1)下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是()
A. 对边相等
B. 对角相等
C. 对角线相等
D. 对边平行
(2)在下列图形的性质中，矩形不一定具有的是()
A. 对角线互相平分且相等
B. 四个角都相等
C. 是轴对称图形
D. 对角线互相垂直平分
【思路导析】利用矩形的性质进行解答.
【请你解答】(1)；(2).

(1) C ；(2) D。

(1)
选项A：平行四边形的对边相等，这是平行四边形的基本性质，所以矩形也具有这一性质，但不是矩形独有。
选项B：平行四边形的对角相等，这也是平行四边形的基本性质，矩形作为特殊的平行四边形，也具有这一性质，但不是矩形独有。
选项C：矩形的对角线相等，这是矩形的性质，而一般的平行四边形对角线不一定相等，所以这是矩形具有但平行四边形不一定具有的性质。
选项D：平行四边形的对边平行，这是平行四边形的基本性质，矩形作为特殊的平行四边形，也具有这一性质，但不是矩形独有。
综上所述，答案是C。
(2)
选项A：矩形的对角线互相平分且相等，这是矩形的性质。
选项B：矩形的四个角都是直角，即四个角都相等。
选项C：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。
选项D：矩形的对角线不互相垂直平分，这是菱形的性质，矩形作为特殊的平行四边形（对角线相等的平行四边形），不一定具有。
综上所述，答案是D。

例 3 如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$AB = 10cm$，$D$ 为 $AB$ 的中点，则 $CD$ 的长为 $cm$.

【探究点拨】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
【规范解答】$\because D$ 为 $AB$ 的中点，$∠ ACB = 90^{\circ}$，
$\therefore CD=\frac{1}{2}AB$，
(直角三角形斜边上的中线的性质)
又 $\because AB = 10cm$，$\therefore CD = 5cm$.

5

在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，$D$为$AB$的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得$CD=\frac{1}{2}AB$。因为$AB=10cm$，所以$CD=\frac{1}{2}×10=5cm$。

1. 如图，矩形 $ABCD$ 的顶点 $A$，$C$ 分别在直线 $a$，$b$ 上，且 $a// b$，$∠ 1 = 60^{\circ}$，则 $∠ 2$ 的度数为()


A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$75^{\circ}$

C

过点D作直线a的平行线交直线b于点E，∵a//b，∴四边形AECD为平行四边形，∠AED=∠1=60°。矩形ABCD中，∠ADC=90°，∴∠CDE=90°。在Rt△CDE中，∠DCE=90°-∠AED=30°。又∵∠BCD=90°，∴∠2=∠BCD-∠DCE=60°。

2. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，点 $E$ 在边 $AB$ 上，点 $F$ 在边 $BC$ 上，且 $BE = CF$，$EF⊥ DF$，求证：$BF = CD$.

证明：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$∠ B=∠ C=90°$，$CD=AB$。
∵$EF⊥ DF$，
∴$∠ EFD=90°$，
∴$∠ EFB+∠ DFC=90°$。
∵$∠ B=90°$，
∴$∠ EFB+∠ BEF=90°$，
∴$∠ BEF=∠ DFC$。
在$△ BEF$和$△ CFD$中，
$\begin{cases} ∠ BEF=∠ CFD, \\∠ B=∠ C, \\BE=CF,\end{cases}$
∴$△ BEF≌△ CFD(AAS)$，
∴$BF=CD$。