8. 如图，在▱ABCD 中，O 是对角线 AC，BD 的交点，E 是边 CD 的中点，点 F 在 BC 的延长线上，且 $ CF = \frac{1}{2}BC $. 求证：四边形 OCFE 是平行四边形.

∵ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形，
$O$ 为对角线交点，
∴ $OB = OD$（平行四边形对角线性质），$AB // CD$，
$O$ 为 $BD$ 中点，
∵ $E$ 为 $CD$ 中点，
∴ $DE = \frac{1}{2} DC$，
在 $△ DBC$ 中，
$O$ 为 $BD$ 中点，$E$ 为 $CD$ 中点，
∴ $OE // BC$，且 $OE = \frac{1}{2} BC$，
又 $CF = \frac{1}{2} BC$，
∴ $OE // CF$，$OE = CF$，
根据平行四边形判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴ 四边形 $OCFE$ 为平行四边形。

9. 如图，在△ABC 中，AB = 13，BC = 12，D，E 分别是 AB，BC 的中点，连接 DE，CD，若 DE = 2.5，求△ACD 的周长.

18

∵D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线。
由三角形中位线定理得：DE = 1/2 AC，∵DE = 2.5，∴AC = 2DE = 5。
∵D是AB中点，AB = 13，∴AD = 1/2 AB = 6.5。
∵AC = 5，BC = 12，AB = 13，且5² + 12² = 13²，∴△ABC是直角三角形，∠ACB = 90°。
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴CD = 1/2 AB = 6.5。
∴△ACD的周长 = AC + AD + CD = 5 + 6.5 + 6.5 = 18。

10. 如图，CD 是△ABC 的中线，E 是 AC 上一点，AE = 2EC，DF//AC 交 BE 于点 F，BE 交 CD 于点 G. 求证：
(1)AC = 3DF；
(2)BE 平分 CD.

(1)∵CD是△ABC的中线，∴D是AB中点。
∵DF//AC，∴DF//AE。
在△ABE中，D是AB中点，DF//AE，∴DF是△ABE的中位线。
∴DF=1/2AE，F是BE中点。
∵AE=2EC，∴AC=AE+EC=3EC，即AE=2/3AC。
∴DF=1/2×2/3AC=1/3AC，∴AC=3DF。
(2)由(1)知AC=3DF，且AC=3EC，∴DF=EC。
∵DF//AC，∴DF//EC。
∴四边形DFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∴CD与EF互相平分，即CG=GD。
∴BE平分CD。

11. 如图，△ABC 中，M 为 BC 的中点，AD 为∠BAC 的平分线，BD⊥AD，垂足为 D.
(1)求证：$ DM = \frac{1}{2}(AC - AB) $；
(2)若 AD = 6，BD = 8，DM = 2，求 AC 的长.

(1)
证明：
延长$BD$交$AC$于$E$。
因为$AD$平分$∠ BAC$，所以$∠ BAD=∠ EAD$。
因为$AD⊥ BD$，所以$∠ ADB = ∠ ADE=90^{\circ}$。
在$△ ABD$和$△ AED$中，
$\begin{cases}∠ BAD=∠ EAD\\AD = AD\\∠ ADB=∠ ADE\end{cases}$
根据$ASA$（角边角）定理，$△ ABD≌△ AED$。
所以$AB = AE$，$BD = DE$。
因为$M$是$BC$的中点，$BD = DE$，在$△ BCE$中，$DM$是中位线。
所以$DM=\dfrac{1}{2}CE$。
因为$CE=AC - AE=AC - AB$，所以$DM=\dfrac{1}{2}(AC - AB)$。
(2)
在$Rt△ ABD$中，根据勾股定理$AB=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$。
由(1)知$DM=\dfrac{1}{2}(AC - AB)$，已知$DM = 2$，则$2=\dfrac{1}{2}(AC - 10)$。
等式两边同时乘以$2$得：$4=AC - 10$。
移项可得$AC=14$。
综上，答案为：(1)证明过程如上述；(2)$AC$的长为$14$。