1. 在 $ △ ABC $ 中，$ P $ 是 $ ∠ BAC $，$ ∠ ABC $ 的平分线 $ AD $，$ BE $ 的交点。求证：点 $ P $ 在 $ ∠ C $ 的平分线上。

1. 证明:过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N,PF⊥AC于点F.

∵点P是∠BAC和∠ABC平分线上的点(已知)
∴PM=PF PM=PN
∴PF=PN
∴点P在∠C的平分线上.

2. 已知 $ △ ACB $ 和 $ △ ECD $ 都是等腰直角三角形，$ ∠ ACB = ∠ ECD = 90^{\circ} $，$ D $ 为 $ AB $ 边上一点。求证：$ ∠ EAC = ∠ DBC $。

2. 证明:
∵△ACB和△DCE为等腰直角三角形(已知)
∴AC=BC
EC=DC
∵∠ACB=∠ECD=90°(已知)
∴∠ECA+∠ACD=∠BCD+∠ACD
∴∠ECA=∠DCB
在△ECA和△DCB中
$\{ \begin{array} { l } { E C = D C ( \mathrm{ 已证 } ) } \\ { ∠ E C A = ∠ D C B ( \mathrm{ 已证 } ) } \\ { A C = B C ( \mathrm{ 已证 } ) } \end{array} $
∴△ECA≌△DCB(SAS)
∴∠EAC=∠DBC

3. 如图，$ PA $，$ PC $ 分别是 $ △ ABC $ 的外角 $ ∠ MAC $ 与 $ ∠ NCA $ 的平分线，它们交于点 $ P $，$ PD ⊥ BM $ 于 $ D $，$ PF ⊥ BN $ 于 $ F $。求证：$ BP $ 为 $ ∠ MBN $ 的平分线。

3. 证明:过点P作PE⊥AC于点E
∵PA是∠MAC的平分线
PD⊥BM于点D(已知)

∴PD=PE
∵PC是∠NCA的平分线
PF⊥BN于点F(已知)
∴PE=PF
∴PD=PF
又
∵PD⊥MB PF⊥NB
∴BP是∠MBN的平分线.