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1. (★)如图，四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$CE = CD$，$∠ B = 62^{\circ}$，则 $∠ DEC$ 的度数为 【 】
A.$62^{\circ}$
B.$57^{\circ}$
C.$59^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
A.$62^{\circ}$
B.$57^{\circ}$
C.$59^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
答案
A
解析
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=62°，∴∠D=∠B=62°，AD//BC。∵CE=CD，∴∠DEC=∠D=62°。
2. (★)如图，在 $□ ABCD$ 中，$AB = 4$，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$. 若 $AC + BD = 16$，则 $△ COD$ 的周长为 【 】
A.$10$
B.$11$
C.$12$
D.$17$
A.$10$
B.$11$
C.$12$
D.$17$
答案
C
解析
在平行四边形 $ABCD$ 中，$AB = CD = 4$，对角线 $AC$ 与 $BD$ 互相平分，即 $AO = CO$，$BO = DO$。因为 $AC + BD = 16$，所以 $CO + DO = \frac{1}{2}(AC + BD) = 8$。则 $△ COD$ 的周长为 $CO + DO + CD = 8 + 4 = 12$。
3. (★)如图，$□ ABCD$ 的周长为 $30$，$AD:AB = 3:2$，那么 $BC$ 的长度是 【 】
A.$9$
B.$12$
C.$15$
D.$18$
A.$9$
B.$12$
C.$15$
D.$18$
答案
A
解析
四边形 $ABCD$ 是平行四边形，所以 $AD = BC$，$AB = CD$。
周长为 $30$，即 $2(AD + AB) = 30$，所以 $AD + AB = 15$。
已知 $AD:AB = 3:2$，设 $AD = 3x$，$AB = 2x$，则 $3x + 2x = 15$，解得 $x = 3$。
所以 $AD = 3 × 3 = 9$，$BC = AD = 9$。
周长为 $30$，即 $2(AD + AB) = 30$，所以 $AD + AB = 15$。
已知 $AD:AB = 3:2$，设 $AD = 3x$，$AB = 2x$，则 $3x + 2x = 15$，解得 $x = 3$。
所以 $AD = 3 × 3 = 9$，$BC = AD = 9$。
4. (★)如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，若 $AB = 13$，$AD = 12$，$AC ⊥ BC$，则 $□ ABCD$ 的面积为 【 】
A.$60$
B.$65$
C.$30$
D.$\dfrac{65}{2}$
A.$60$
B.$65$
C.$30$
D.$\dfrac{65}{2}$
答案
A
解析
在平行四边形$ABCD$中，$AB = 13$，$AD = 12$，因为$AC⊥ BC$，且$ABCD$是平行四边形，所以$BC = AD = 12$。
在$Rt△ ABC$中，根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=\sqrt{25}=5$。
平行四边形$ABCD$的面积$S = BC× AC = 60$（这里$BC$为底，$AC$为高，由于平行四边形面积等于底乘对应高，$AC$垂直于$BC$，$BC$边上的高就是$AC$）。
在$Rt△ ABC$中，根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=\sqrt{25}=5$。
平行四边形$ABCD$的面积$S = BC× AC = 60$（这里$BC$为底，$AC$为高，由于平行四边形面积等于底乘对应高，$AC$垂直于$BC$，$BC$边上的高就是$AC$）。
5. (★★)如图，在 $□ ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$OE ⊥ BD$ 交 $AD$ 于点 $E$，连接 $BE$，若 $□ ABCD$ 的周长为 $28$，则 $△ ABE$ 的周长为 【 】
A.$28$
B.$24$
C.$21$
D.$14$
A.$28$
B.$24$
C.$21$
D.$14$
答案
D
解析
在□ABCD中，AB=CD，AD=BC，周长为28，故AB+AD=14。
∵对角线AC、BD交于点O，∴O为BD中点。
∵OE⊥BD，∴OE垂直平分BD，∴EB=ED。
△ABE周长=AB+BE+AE=AB+ED+AE=AB+AD=14。
∵对角线AC、BD交于点O，∴O为BD中点。
∵OE⊥BD，∴OE垂直平分BD，∴EB=ED。
△ABE周长=AB+BE+AE=AB+ED+AE=AB+AD=14。
6. (★★)如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ A = 42^{\circ}$，$AB = AC$，点 $D$ 在边 $AC$ 上，以 $BC$，$CD$ 为边作 $□ BCDE$，则 $∠ EDC$ 的度数为 【 】
A.$120^{\circ}$
B.$111^{\circ}$
C.$91^{\circ}$
D.$71^{\circ}$
A.$120^{\circ}$
B.$111^{\circ}$
C.$91^{\circ}$
D.$71^{\circ}$
答案
B
解析
1. 由于 $AB = AC$，三角形 $ABC$ 为等腰三角形，角 $A = 42°$。
2. 计算角 $B$ 和角 $C$：
$ ∠ B = ∠ C = \frac{180° - 42°}{2} = 69° $
3. 由于 $BCDE$ 是平行四边形，平行四边形的对角相等，所以：
$ ∠ EDC = 180° - ∠ B = 180° - 69° = 111° $
2. 计算角 $B$ 和角 $C$：
$ ∠ B = ∠ C = \frac{180° - 42°}{2} = 69° $
3. 由于 $BCDE$ 是平行四边形，平行四边形的对角相等，所以：
$ ∠ EDC = 180° - ∠ B = 180° - 69° = 111° $
7. (★)如图，在 $□ ABCD$ 中，$AC ⊥ BC$. 若 $AC = 6$，$BC = 8$，则该平行四边形的周长为 【 】
A.$28$
B.$30$
C.$32$
D.$36$
A.$28$
B.$30$
C.$32$
D.$36$
答案
D
解析
在$□ABCD$中，$AB=CD$，$AD=BC$。因为$AC⊥BC$，$AC=6$，$BC=8$，所以在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$。平行四边形周长为$2(AB+BC)=2×(10+8)=36$。
8. (★★)如图，在 $□ ABCD$ 中，$AE ⊥ BC$ 于点 $E$，$AF ⊥ CD$ 于点 $F$. 若 $AE = 2$，$AF = 3$，且 $□ ABCD$ 的面积为 $12$，则 $□ ABCD$ 的周长为 【 】
A.$12$
B.$16$
C.$20$
D.$24$
A.$12$
B.$16$
C.$20$
D.$24$
答案
C
解析
设$BC=x$，$CD=y$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB=CD=y$，$AD=BC=x$。
由平行四边形面积公式，$S=BC×AE=CD×AF$，得$2x=12$，$3y=12$。
解得$x=6$，$y=4$。
周长为$2(x+y)=2×(6+4)=20$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB=CD=y$，$AD=BC=x$。
由平行四边形面积公式，$S=BC×AE=CD×AF$，得$2x=12$，$3y=12$。
解得$x=6$，$y=4$。
周长为$2(x+y)=2×(6+4)=20$。
