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1. 如图, $ ∠ ABC = 60° $, $ ∠ ADC = 100° $, 则 $ ∠ EAD + ∠ DCF $ 的大小是().
A.$ 80° $
B.$ 120° $
C.$ 160° $
D.$ 200° $
A.$ 80° $
B.$ 120° $
C.$ 160° $
D.$ 200° $
答案
C
解析
1. 由四边形内角和定理可知，四边形ABCD内角和为360°；
2. 已知∠ABC=60°，∠ADC=100°，可得∠BAD+∠BCD=360°-60°-100°=200°；
3. 因为∠EAD与∠BAD互补，∠DCF与∠BCD互补，即∠EAD=180°-∠BAD，∠DCF=180°-∠BCD；
4. 所以∠EAD+∠DCF=360°-(∠BAD+∠BCD)=360°-200°=160°。
2. 已知∠ABC=60°，∠ADC=100°，可得∠BAD+∠BCD=360°-60°-100°=200°；
3. 因为∠EAD与∠BAD互补，∠DCF与∠BCD互补，即∠EAD=180°-∠BAD，∠DCF=180°-∠BCD；
4. 所以∠EAD+∠DCF=360°-(∠BAD+∠BCD)=360°-200°=160°。
2. 我们知道三角形具有稳定性, 但四边形却是不稳定的. 已知四边形 $ ABCD $ 的边长如图所示, 当 $ △ ABC $ 为等腰三角形时, 对角线 $ AC $ 的长是().
A.4 或 6
B.5
C.4
D.6
A.4 或 6
B.5
C.4
D.6
答案
C
解析
分情况讨论△ABC为等腰三角形的情况：
① 若AB=AC=4，在△ADC中，AD=3，DC=3，满足3+3＞4，3+4＞3，符合三角形三边关系，成立；
② 若BC=AC=6，在△ADC中，AD+DC=3+3=6，不满足三角形三边关系，舍去；
③ AB=BC不成立（4≠6）。
综上，AC的长是4。
① 若AB=AC=4，在△ADC中，AD=3，DC=3，满足3+3＞4，3+4＞3，符合三角形三边关系，成立；
② 若BC=AC=6，在△ADC中，AD+DC=3+3=6，不满足三角形三边关系，舍去；
③ AB=BC不成立（4≠6）。
综上，AC的长是4。
3. 在四边形 $ ABCD $ 中, 边 $ AB $ 的对边是, 内角和是, 外角和是.
答案
$CD$，$360°$，$360°$
解析
1. 根据四边形对边的定义，在四边形$ABCD$中，$AB$的对边是$CD$；
2. 由多边形内角和公式$(n-2)×180°$（$n$为边数），四边形$n=4$，代入得内角和为$(4-2)×180°=360°$；
3. 任意多边形的外角和均为$360°$，因此四边形外角和是$360°$。
2. 由多边形内角和公式$(n-2)×180°$（$n$为边数），四边形$n=4$，代入得内角和为$(4-2)×180°=360°$；
3. 任意多边形的外角和均为$360°$，因此四边形外角和是$360°$。
4. 如图是一扇可伸缩的电动门, 该电动门能伸缩的几何原理是.
答案
四边形具有不稳定性
解析
电动门由多个四边形结构组成，根据四边形的特性，四边形具有不稳定性，易发生变形，这一原理使电动门能够伸缩。
5. 下列长度的三条线段与长度为 5 的线段能组成四边形的是().
A.2, 2, 2
B.1, 1, 8
C.1, 2, 2
D.1, 1, 1
A.2, 2, 2
B.1, 1, 8
C.1, 2, 2
D.1, 1, 1
答案
A
解析
要判断三条线段与长度为5的线段能否组成四边形，需满足四条线段中最长线段的长度小于另外三条线段长度之和。
选项A：四条线段为2,2,2,5，最长线段是5，另外三条线段的和为2+2+2=6，6＞5，满足条件；
选项B：四条线段为1,1,8,5，最长线段是8，另外三条线段的和为1+1+5=7，7＜8，不满足；
选项C：四条线段为1,2,2,5，最长线段是5，另外三条线段的和为1+2+2=5，5=5，不满足；
选项D：四条线段为1,1,1,5，最长线段是5，另外三条线段的和为1+1+1=3，3＜5，不满足。
综上，能组成四边形的是选项A。
选项A：四条线段为2,2,2,5，最长线段是5，另外三条线段的和为2+2+2=6，6＞5，满足条件；
选项B：四条线段为1,1,8,5，最长线段是8，另外三条线段的和为1+1+5=7，7＜8，不满足；
选项C：四条线段为1,2,2,5，最长线段是5，另外三条线段的和为1+2+2=5，5=5，不满足；
选项D：四条线段为1,1,1,5，最长线段是5，另外三条线段的和为1+1+1=3，3＜5，不满足。
综上，能组成四边形的是选项A。
6. 我们把有两个相邻的内角是直角且有两条邻边相等的四边形称为“邻等四边形”. 如图, 在 $ 5 × 5 $ 的方格纸中, 每个小正方形的边长为 1, $ A $, $ B $, $ C $ 三点均在格点上. 若四边形 $ ABCD $ 是“邻等四边形”, 且点 $ D $ 也在格点上, 求 $ AD $ 的长.
答案
解：根据“邻等四边形”的定义，分两种情况讨论：
情况一：当$∠ DAB$和$∠ ABC$为相邻直角，且$AB=AD$时，
$\because AB=1$，$\therefore AD=1$。
情况二：当$∠ ABC$和$∠ BCD$为相邻直角，且$BC=CD$时，
$\because BC=3$，$\therefore CD=3$，
以$A(2,3)$、$B(1,3)$、$C(1,0)$建立平面直角坐标系，此时点$D$坐标为$(4,0)$，
由勾股定理得：
$AD=\sqrt{(4-2)^2+(0-3)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$。
综上，$AD$的长为$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{\sqrt{13}}$。
情况一：当$∠ DAB$和$∠ ABC$为相邻直角，且$AB=AD$时，
$\because AB=1$，$\therefore AD=1$。
情况二：当$∠ ABC$和$∠ BCD$为相邻直角，且$BC=CD$时，
$\because BC=3$，$\therefore CD=3$，
以$A(2,3)$、$B(1,3)$、$C(1,0)$建立平面直角坐标系，此时点$D$坐标为$(4,0)$，
由勾股定理得：
$AD=\sqrt{(4-2)^2+(0-3)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$。
综上，$AD$的长为$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{\sqrt{13}}$。
