1. 如图,P为⊙O外一点,PA,PB分别切⊙O于A,B两点,若PA= 3,则PB= ( )

A.2
B.3
C.4
D.5

B

证明：
∵PA，PB分别切⊙O于A，B两点，
∴PA=PB，
∵PA=3，
∴PB=3。
答案：B

2. 如图,AB,BC,CD,DA都是⊙O的切线.若AD= 2,BC= 5,则AB+CD的值为( )

A.14
B.12
C.9
D.7

D

证明：设AB,BC,CD,DA与⊙O的切点分别为E,F,G,H。
由切线长定理得：AE=AH，BE=BF，CF=CG，DG=DH。
设AE=AH=x，BE=BF=y，CF=CG=z，DG=DH=w。
则AD=AH+DH=x+w=2，BC=BF+CF=y+z=5。
AB=AE+BE=x+y，CD=CG+DG=z+w。
AB+CD=(x+y)+(z+w)=(x+w)+(y+z)=AD+BC=2+5=7。
答案：D

3. 如图,PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点,连结AB,若∠P= 72°,∠CBP= 120°,则∠CAB= ( )

A.58°
B.72°
C.54°
D.60°

D

证明：
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴PA=PB，∠PAB=∠PBA。
∵∠P=72°，
∴∠PBA=(180°-72°)/2=54°。
∵∠CBP=120°，
∴∠ABC=180°-∠CBP=60°。
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAB=∠ACB=54°。
在△ABC中，∠CAB=180°-∠ACB-∠ABC=180°-54°-60°=66°。
1

4. 如图,不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA,PB分别相切于点A,B,不倒翁的鼻尖正好是圆心O.若∠OAB= 28°,则∠APB的度数为( )

A.28°
B.50°
C.56°
D.62°

C

证明：
∵PA，PB与⊙O相切于点A，B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，△PAB为等腰三角形，∠APO=∠BPO。
∵OA=OB，∠OAB=28°，
∴∠OBA=∠OAB=28°，
∴∠AOB=180°-28°-28°=124°。
∵四边形OAPB内角和为360°，
∴∠APB=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=360°-90°-90°-124°=56°。
C

5. 如图,在△MBC中,∠B= 90°,∠C= 60°,MB= 2√3,点A在MB上,以AB为直径作⊙O与MC相切于点D,则CD的长为( )

A.√2
B.√3
C.2
D.3

C

证明：在$Rt\triangle MBC$中，$\angle B=90°$，$\angle C=60°$，$MB=2\sqrt{3}$，
$\tan\angle C=\frac{MB}{BC}=\tan60°=\sqrt{3}$，则$BC=\frac{MB}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2$，
$\angle M=30°$，$MC=\frac{BC}{\cos60°}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4$。
设$AB=2r$，则$OA=OD=r$，$OM=MB-OB=2\sqrt{3}-r$。
因为$MD$是$\odot O$的切线，所以$OD\perp MC$，$\angle ODM=90°$。
在$Rt\triangle ODM$中，$\angle M=30°$，$OD=r$，则$OM=2OD=2r$。
又$OM=2\sqrt{3}-r$，故$2r=2\sqrt{3}-r$，解得$r=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
$AM=MB-AB=2\sqrt{3}-2r=2\sqrt{3}-2×\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
在$Rt\triangle MAD$中，$\angle M=30°$，$AD=\frac{1}{2}AM=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$MD=\sqrt{AM^2-AD^2}=\sqrt{(\frac{2\sqrt{3}}{3})^2-(\frac{\sqrt{3}}{3})^2}=1$。
所以$CD=MC-MD=4 - 1=3$。
答案：D

6. 如图,PA,PB分别切⊙O于A,B,C是劣弧AB上的点(不与点A,B重合),过点C的切线分别交PA,PB于点E,F.则△PEF的周长为______cm.

20

证明：
∵PA，PB分别切⊙O于A，B，
∴PA=PB。
∵EF切⊙O于C，
∴EA=EC，FC=FB。
∵△PEF的周长=PE+EF+PF=PE+EC+FC+PF=PE+EA+FB+PF=PA+PB=2PA。
（注：题目中未给出PA长度，若PA=10cm，则周长为20cm）
20

7. 如图,AB是⊙O的直径,BD,CD分别是过⊙O上点B,C的切线,且∠BDC= 110°.连结AC,则∠A的度数是______.

35°

证明：连接OC。
∵BD，CD是⊙O的切线，
∴OB⊥BD，OC⊥CD，
∴∠OBD=∠OCD=90°。
在四边形OBDC中，∠BDC=110°，
∴∠BOC=360°-∠OBD-∠OCD-∠BDC=360°-90°-90°-110°=70°。
∵∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
∴∠A=1/2∠BOC=1/2×70°=35°。
35°

8. 如图,P为⊙O外一点,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,PA= √3,∠P= 60°,则图中阴影部分的面积为______.

$\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}$

解：连接OA，OB，OP。
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB=√3，∠OPA=∠OPB=1/2∠P=30°。
在Rt△OAP中，tan∠OPA=OA/PA，
∴OA=PA·tan30°=√3×(√3/3)=1。
∴OP=2OA=2。
S_Rt△OAP=1/2×OA×PA=1/2×1×√3=√3/2。
同理S_Rt△OBP=√3/2，
∴S_{四边形OAPB}=S_Rt△OAP+S_Rt△OBP=√3。
∵∠OAP=∠OBP=90°，∠P=60°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°。
S_扇形OAB=120π×1²/360=π/3。
∴S_阴影=S_{四边形OAPB}-S_扇形OAB=√3 - π/3。
√3 - π/3