例1 已知数$a_{1}$、$a_{2}$、$a_{3}$、$a_{4}$……满足下列条件：$a_{1}=0$，$a_{2}=-|a_{1}+1|$，$a_{3}=-|a_{2}+2|$，$a_{4}=-|a_{3}+3|$……依次类推。
（1）$a_{n}$的值是多少？
（2）$a_{120}$的值是多少？
分析：据条件求出前几个数的值，寻找规律。
解：$\because a_{1}=0$，
$a_{2}=-|a_{1}+1|=-1$，
$a_{3}=-|a_{2}+2|=-|-1+2|=-1$，
$a_{4}=-|a_{3}+3|=-|-1+3|=-2$，
$a_{5}=-|a_{4}+4|=-|-2+4|=-2$，
$a_{6}=-|a_{5}+5|=-|-2+5|=-3$，
$a_{7}=-|a_{6}+6|=-|-3+6|=-3$，
$a_{8}=-|a_{7}+7|=-|-3+7|=-4$，
$\vdots$
$\therefore$当$n$为奇数时，$a_{n}=-\frac{n - 1}{2}$；
当$n$为偶数时，$a_{n}=-\frac{n}{2}$。
$\therefore a_{120}=-\frac{120}{2}=-60$。

例2 如图①，在平面直角坐标系中，点$A_{1}$、$A_{2}$、$A_{3}$……和点$B_{1}$、$B_{2}$、$B_{3}$……分别在函数$y = kx + b$的图像和$x$轴上，$\triangle OA_{1}B_{1}$、$\triangle B_{1}A_{2}B_{2}$、$\triangle B_{2}A_{3}B_{3}$……都是等腰直角三角形。如果点$A_{1}$的坐标为$(1,1)$，点$A_{2}$的坐标为$(\frac{7}{2},\frac{3}{2})$，那么点$A_{n}$的纵坐标是多少？

（例2）
分析：可按如下过程探索：
（1）由点$A_{1}$、$A_{2}$的坐标确定$y = kx + b$中$k$、$b$的值，进而确定该直线与坐标轴的交点坐标；
（2）利用相似三角形和等腰直角三角形的性质，可依次求得点$B_{1}$、$B_{2}$、$B_{3}$的坐标，进而可求得点$A_{3}$的坐标；
（3）观察点$A_{1}$、$A_{2}$、$A_{3}$、$A_{4}$坐标的规律。
解：由$A_{1}(1,1)$、$A_{2}(\frac{7}{2},\frac{3}{2})$在$y = kx + b$的图像上，
可求得该函数的表达式为$y=\frac{1}{5}x+\frac{4}{5}$。
如图②，设该函数的图像与$x$轴、$y$轴的交点分别为点$A$、$D$。
当$x = 0$时，$y=\frac{4}{5}$；当$y = 0$时，$x = - 4$。

$\therefore$点$A$、$D$的坐标分别为$(-4,0)$、$(0,\frac{4}{5})$。
$\therefore \tan\angle DAO=\frac{DO}{AO}=\frac{4}{5}×\frac{1}{4}=\frac{1}{5}$。
分别过点$A_{1}$、$A_{2}$、$A_{3}$作$x$轴的垂线，垂足分别为$C_{1}$、$C_{2}$、$C_{3}$。
$\therefore OB_{2}=OB_{1}+B_{1}B_{2}=2×1 + 2×\frac{3}{2}=2 + 3 = 5$，
$\tan\angle DAO=\frac{A_{3}C_{3}}{AC_{3}}=\frac{A_{3}C_{3}}{4 + 5 + B_{2}C_{3}}=\frac{1}{5}$。
$\because \triangle B_{2}A_{3}B_{3}$是等腰直角三角形，
$\therefore A_{3}C_{3}=B_{2}C_{3}$。
$\therefore A_{3}C_{3}=\frac{9}{4}=(\frac{3}{2})^{2}$。
同理$A_{4}C_{4}=\frac{27}{8}=(\frac{3}{2})^{3}$。
依次类推，点$A_{n}$的纵坐标是$(\frac{3}{2})^{n - 1}$。