10. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AC=60\ \mathrm{cm}$,$∠ A=60°$,点$D$从点$A$出发沿$AC$方向以$4\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$C$匀速运动,同时点$E$从点$B$出发沿$BA$方向以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$A$匀速运动,设点$D,E$运动的时间是$t\ \mathrm{s}(0＜ t＜15)$,过点$D$作$DF⊥ BC$于点$F$,连接$DE,EF$.
(1)求证:四边形$AEFD$是平行四边形;
(2)当$t$为何值时,四边形$AEFD$为菱形? 说明理由.

10. 解:(1)由题意知,$BE=2t,AD=4t$,
则$CD=AC-AD=60-4t,AE=AB-BE=30-2t$,
$\because DF⊥ BC,∠ A=60°,∠ B=90°$,
$\therefore ∠ C=30°,∠ DFC=∠ B=90°$,即$DF// AE$,
$\therefore DF=\dfrac{1}{2}DC=30-2t$,
$\therefore DF=AE$,
$\therefore$四边形$AEFD$是平行四边形.
(2)$\because$四边形$AEFD$是平行四边形,且$AE=30-2t,AD=4t$,
$\therefore$当$AD=AE$,即$30-2t=4t$时,四边形$AEFD$是菱形,
解得:$t=5$.
故当$t=5$时,四边形$AEFD$为菱形.

11. 如图①,将一张矩形纸片$ABCD$沿着对角线$BD$向上折叠,顶点$C$落到点$E$处,$BE$交$AD$于点$F$.
(1)求证:$△ BDF$是等腰三角形.
(2)如图②,过点$D$作$DG// BE$,交$BC$于点$G$,连接$FG$,交$BD$于点$O$.
①判断四边形$BFDG$的形状,并说明理由;
②若$AB=6$,$AD=8$,求$FG$的长.

11. 解:(1)证明:如图①,根据折叠,$∠ DBC=∠ DBE$.
又$AD// BC$,
$\therefore ∠ DBC=∠ ADB$,
$\therefore ∠ DBE=∠ ADB$,
$\therefore DF=BF$,
$\therefore △ BDF$是等腰三角形.
(2)①$\because$四边形$ABCD$是矩形,
$\therefore AD// BC$,
$\therefore FD// BG$.
又$\because DG// BE$,
$\therefore$四边形$BFDG$是平行四边形.
$\because DF=BF$,
$\therefore$四边形$BFDG$是菱形.
②$\because AB=6,AD=8$,
$\therefore$根据勾股定理可得$BD=10$.
$\therefore OB=\dfrac{1}{2}BD=5$.
假设$DF=BF=x$,
$\therefore AF=AD-DF=8-x$.
$\therefore$在直角$△ ABF$中,$AB^{2}+AF^{2}=BF^{2}$,
即$6^{2}+(8-x)^{2}=x^{2}$,
解得$x=\dfrac{25}{4}$,
即$BF=\dfrac{25}{4}$.
$\therefore FO=\sqrt{BF^{2}-OB^{2}}=\sqrt{(\dfrac{25}{4})^{2}-5^{2}}=\dfrac{15}{4}$,
$\therefore FG=2FO=\dfrac{15}{2}$.