登录
24. (本小题满分13分)如图①至图③,对折矩形纸片$ABCD$,使$AD$与$BC$重合,折痕为$EF$;再一次对折纸片,使$EF$与$BC$重合,折痕为$GH$;把纸片展平,$MN$也为折痕;$P$为线段$AD$上一点,再次沿$BP$折叠矩形纸片,使点$A$落在原矩形所在平面的点$Q$处.
(1) 如图④,若点$Q$在线段$EF$上,延长$PQ$交$BC$于点$W$,求证:$△ BPW$为等边三角形.
(2) 如图⑤,若点$Q$在线段$GH$上,求$\tan∠ ABP$的值.
(3) 在矩形$ABCD$中,$AB=3$,$AD=4$,直线$PQ$交$DC$的延长线于点$K$.若$CK=\frac{1}{4}CD$,求线段$PD$的长.
(1) 如图④,若点$Q$在线段$EF$上,延长$PQ$交$BC$于点$W$,求证:$△ BPW$为等边三角形.
(2) 如图⑤,若点$Q$在线段$GH$上,求$\tan∠ ABP$的值.
(3) 在矩形$ABCD$中,$AB=3$,$AD=4$,直线$PQ$交$DC$的延长线于点$K$.若$CK=\frac{1}{4}CD$,求线段$PD$的长.
答案
(1) 见证明；(2) √15/5；(3) 7/13。
解析
(1) 证明：设矩形ABCD中，AB=m，AD=n，建立以B为原点，BC为x轴，BA为y轴的坐标系。由折叠性质，BA=BQ=m，∠ABP=∠QBP，AP=QP，∠BQP=90°。点Q在EF上（y=m/2），则Q(q,m/2)，由BQ=m得√(q²+(m/2)²)=m，解得q=(√3/2)m。设P(p,m)，由AP=QP得p=√[(p-q)²+(m/2)²]，解得p=√3m/3。PQ斜率为-√3，方程为y=-√3x+2m，交BC于W(2√3m/3,0)。计算得BP=BW=PW=2√3m/3，故△BPW为等边三角形。
(2) 解：点Q在GH上（y=m/4），Q(q,m/4)，由BQ=m得√(q²+(m/4)²)=m，q=(√15/4)m。设P(p,m)，由AP=QP得p=√[(p-q)²+(3m/4)²]，解得p=m√15/5。tan∠ABP=AP/AB=p/m=√15/5。
(3) 解：AB=3，AD=4，坐标系中B(0,0),A(0,3),D(4,3),C(4,0)，K(4,-3/4)。设P(p,3)，Q(x,y)，则BQ=3（x²+y²=9），AP=QP（p=√[(x-p)²+(y-3)²]），Q在直线PK上。由BQ⊥PQ得15y=-4x(4-p)，联立解得p=45/13，PD=4-p=7/13。
(2) 解：点Q在GH上（y=m/4），Q(q,m/4)，由BQ=m得√(q²+(m/4)²)=m，q=(√15/4)m。设P(p,m)，由AP=QP得p=√[(p-q)²+(3m/4)²]，解得p=m√15/5。tan∠ABP=AP/AB=p/m=√15/5。
(3) 解：AB=3，AD=4，坐标系中B(0,0),A(0,3),D(4,3),C(4,0)，K(4,-3/4)。设P(p,3)，Q(x,y)，则BQ=3（x²+y²=9），AP=QP（p=√[(x-p)²+(y-3)²]），Q在直线PK上。由BQ⊥PQ得15y=-4x(4-p)，联立解得p=45/13，PD=4-p=7/13。
