9. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，F是经过点B且与AC平行的直线上一点，且$∠ BAF = ∠ ADB$，点E在线段OD上，且满足$AE = CD$，连接CE。
(1) 若$∠ BAF = 35^{\circ}$，求$∠ EAC$的度数。
(2) 若$BF = 2OE$，求证：$CE ⊥ BD$。

9. (1)解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD = 90°，
∴∠ABD + ∠ADB = 90°.
∵BF//AC，
∴∠ABF = ∠OAB.
∵∠BAF = ∠ADB，
∴∠ABF + ∠BAF = 90°.
∵∠BAF = 35°，
∴∠ABF = 90° - 35° = 55°，
∴∠OAB = ∠DBA = 55°.
∵AE = CD，
∴AE = AB，
∴∠AEB = ∠ABD = 55°，
∴∠BAE = 180° - (∠AEB + ∠ABD) = 180° - (55° + 55°) = 70°，
∴∠EAC = ∠BAE - ∠OAB = 70° - 55° = 15°.
(2)证明：如图，在OB上截取OH = OE，连接CH，在△AOE和△COH中，
$\begin{cases}OA = OC, \\∠AOE = ∠COH, \\OE = OH,\end{cases}$
∴△AOE≌△COH（SAS），
∴∠AEB = ∠CHO，AE = CH.
∵∠AEB = ∠ABD = ∠ABF，AB = AE，
∴AB = CH.
∵BF = 2OE，
∴BF = HE，
∴△ABF≌△CHE（SAS），
∴∠AFB = ∠CEH = 90°，
∴CE⊥BD.

10. (2025·兰州)如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点P。若P为EF的中点，$∠ ADB = 35°$，则$∠ DPE =$()

A.$95°$
B.$100°$
C.$110°$
D.$145°$

10.C

【解析】
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$OB = OD$。
又因为$P$为$EF$的中点，所以$BP = DP$（三角形中位线定理的逆定理）。
所以$∠ PBD=∠ PDB = 35°$。
根据三角形外角性质，$∠ DPE=∠ PBD+∠ PDB + 40°=35°+35°+40°=110°$。
【答案】
$C$
【知识点】
矩形的性质、三角形外角性质、三角形中位线定理
【点评】
本题通过矩形性质和三角形相关定理求解角度，考查对几何知识的综合运用。
【难度系数】
$0.3$

11. （2025·吉林）如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，$∠ BAE = ∠ CDF$。
(1) 求证：$△ ABE ≌ △ DCF$。
(2) 当$AB = 12$，$DF = 13$时，求BE的长。

11. (1)证明：在矩形ABCD中，AB = CD，∠B = ∠C = 90°，在△ABE和△DCF中，
$\begin{cases}∠BAE = ∠CDF, \\AB = CD, \\∠B = ∠C = 90°,\end{cases}$
∴△ABE≌△DCF（ASA）.
(2)解：由(1)知，△ABE≌△DCF，
∴AE = DF = 13.
∵AB = 12，
∴BE = $\sqrt{AE^{2}-AB^{2}}$ = 5.

【解析】
(1)证明：在矩形$ABCD$中，$AB = CD$，$∠ B = ∠ C = 90°$，在$△ ABE$和$△ DCF$中，
$\begin{cases}∠ BAE = ∠ CDF, \\AB = CD, \\∠ B = ∠ C = 90°,\end{cases}$
$\therefore△ ABE≌△ DCF$（$ASA$）。
(2)解：由(1)知，$△ ABE≌△ DCF$，
$\therefore AE = DF = 13$。
$\because AB = 12$，
$\therefore BE = \sqrt{AE^{2}-AB^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}} = 5$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$BE = 5$
【知识点】
矩形的性质、全等三角形的判定、勾股定理
【点评】
本题考查矩形性质、全等三角形判定及勾股定理的应用，第一问通过矩形性质找全等条件，第二问利用全等得边相等再用勾股定理求解，思路清晰。
【难度系数】
$0.6$