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3. 有下列式子：(1) $ y = -0.1x $；(2) $ y = \frac{x}{2} $；(3) $ y = 2x^2 $；(4) $ y^2 = 4x $. 其中表示 $ y $ 是 $ x $ 的正比例函数的有().
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
B
解析
根据正比例函数的定义：形如$y = kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数是正比例函数。
(1)$y = -0.1x$，符合$y=kx$（$k=-0.1≠0$），是正比例函数；
(2)$y = \frac{x}{2}$即$y=0.5x$，符合$y=kx$（$k=0.5≠0$），是正比例函数；
(3)$y = 2x^2$中$x$的次数为2，不是正比例函数；
(4)$y^2 = 4x$中，一个$x$对应两个$y$值，不是$y$关于$x$的函数，更不是正比例函数。
综上，是正比例函数的有2个。
(1)$y = -0.1x$，符合$y=kx$（$k=-0.1≠0$），是正比例函数；
(2)$y = \frac{x}{2}$即$y=0.5x$，符合$y=kx$（$k=0.5≠0$），是正比例函数；
(3)$y = 2x^2$中$x$的次数为2，不是正比例函数；
(4)$y^2 = 4x$中，一个$x$对应两个$y$值，不是$y$关于$x$的函数，更不是正比例函数。
综上，是正比例函数的有2个。
4. 正比例函数 $ y = π x $ 的比例系数为；正比例函数 $ y = -\frac{x}{3} $ 的比例系数为.
答案
$π$；$-\frac{1}{3}$
解析
根据正比例函数的定义，形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数是正比例函数，其中$k$为比例系数。
1. 对于$y=πx$，对比一般形式，比例系数为$π$；
2. 对于$y=-\frac{x}{3}$，可变形为$y=-\frac{1}{3}x$，对比一般形式，比例系数为$-\frac{1}{3}$。
1. 对于$y=πx$，对比一般形式，比例系数为$π$；
2. 对于$y=-\frac{x}{3}$，可变形为$y=-\frac{1}{3}x$，对比一般形式，比例系数为$-\frac{1}{3}$。
5. 若函数 $ y = (3 - m)x^{m^2 - 8} $ 是正比例函数，则 $ m $ 的值是.
答案
-3
解析
根据正比例函数的定义，形如$ y=kx $（$ k≠0 $，$ k $为常数）的函数是正比例函数，因此需满足：
1. $ x $的次数为1：$ m^2 - 8 = 1 $，解得$ m = \pm3 $；
2. 系数不为0：$ 3 - m ≠ 0 $，即$ m ≠ 3 $。
综上，$ m = -3 $。
1. $ x $的次数为1：$ m^2 - 8 = 1 $，解得$ m = \pm3 $；
2. 系数不为0：$ 3 - m ≠ 0 $，即$ m ≠ 3 $。
综上，$ m = -3 $。
6. 已知一次函数 $ y = kx + 2 $，当 $ x = -1 $ 时，$ y = 1 $，则 $ k $ 的值为，此函数的解析式为.
答案
1；$y=x+2$
解析
将$x=-1$，$y=1$代入$y = kx + 2$，得$1 = -k + 2$，解得$k=1$；将$k=1$代入原函数，得函数解析式为$y=x+2$。
7. 已知 $ y = (m - 1)x^{m^2} $ 是正比例函数，则 $ m = $，这个函数的解析式为；当 $ x = 2 $ 时，$ y = $；当 $ y = 2 $ 时，$ x = $.
答案
$-1$；$y=-2x$；$-4$；$-1$
解析
根据正比例函数的定义（形如$y=kx$，$k≠0$，且自变量次数为1），可得：
1. 由自变量次数为1，得$m^2=1$，解得$m=1$或$m=-1$；
2. 由比例系数不为0，得$m-1≠0$，即$m≠1$；
综上，$m=-1$。
将$m=-1$代入原式，函数解析式为$y=-2x$。
当$x=2$时，$y=-2×2=-4$；
当$y=2$时，$2=-2x$，解得$x=-1$。
1. 由自变量次数为1，得$m^2=1$，解得$m=1$或$m=-1$；
2. 由比例系数不为0，得$m-1≠0$，即$m≠1$；
综上，$m=-1$。
将$m=-1$代入原式，函数解析式为$y=-2x$。
当$x=2$时，$y=-2×2=-4$；
当$y=2$时，$2=-2x$，解得$x=-1$。
8. 已知 $ y $ 是关于 $ z $ 的正比例函数，$ z $ 是关于 $ x $ 的正比例函数，试说明 $ y $ 是关于 $ x $ 的正比例函数.
答案
证明：
∵ y是关于z的正比例函数，
∴ 设$ y = k_1z $（$ k_1≠0 $，$ k_1 $为常数）。
∵ z是关于x的正比例函数，
∴ 设$ z = k_2x $（$ k_2≠0 $，$ k_2 $为常数）。
将$ z = k_2x $代入$ y = k_1z $，得：
$ y = k_1·k_2x = (k_1k_2)x $。
∵ $ k_1≠0 $，$ k_2≠0 $，
∴ $ k_1k_2≠0 $，且$ k_1k_2 $为常数。
根据正比例函数的定义，可知y是关于x的正比例函数。
∵ y是关于z的正比例函数，
∴ 设$ y = k_1z $（$ k_1≠0 $，$ k_1 $为常数）。
∵ z是关于x的正比例函数，
∴ 设$ z = k_2x $（$ k_2≠0 $，$ k_2 $为常数）。
将$ z = k_2x $代入$ y = k_1z $，得：
$ y = k_1·k_2x = (k_1k_2)x $。
∵ $ k_1≠0 $，$ k_2≠0 $，
∴ $ k_1k_2≠0 $，且$ k_1k_2 $为常数。
根据正比例函数的定义，可知y是关于x的正比例函数。
9. (1) 若 $ y $ 与 $ x $ 成正比例，且当 $ x = -3 $ 时，$ y = 2 $，求当 $ y = -3 $ 时，$ x $ 的值.
(2) 若 $ y $ 与 $ x + 1 $ 成正比例，且当 $ x = -3 $ 时，$ y = 2 $，求当 $ y = -3 $ 时，$ x $ 的值.
(2) 若 $ y $ 与 $ x + 1 $ 成正比例，且当 $ x = -3 $ 时，$ y = 2 $，求当 $ y = -3 $ 时，$ x $ 的值.
答案
解：(1) 设正比例函数解析式为 $ y = kx $（$ k ≠ 0 $），
将 $ x = -3 $，$ y = 2 $ 代入解析式得：
$ 2 = -3k $，
解得 $ k = -\frac{2}{3} $，
则函数解析式为 $ y = -\frac{2}{3}x $。
当 $ y = -3 $ 时，代入得：
$ -3 = -\frac{2}{3}x $，
解得 $ x = \frac{9}{2} $。
(2) 设函数解析式为 $ y = k(x + 1) $（$ k ≠ 0 $），
将 $ x = -3 $，$ y = 2 $ 代入解析式得：
$ 2 = k(-3 + 1) $，
即 $ 2 = -2k $，
解得 $ k = -1 $，
则函数解析式为 $ y = -(x + 1) $。
当 $ y = -3 $ 时，代入得：
$ -3 = -(x + 1) $，
解得 $ x = 2 $。
将 $ x = -3 $，$ y = 2 $ 代入解析式得：
$ 2 = -3k $，
解得 $ k = -\frac{2}{3} $，
则函数解析式为 $ y = -\frac{2}{3}x $。
当 $ y = -3 $ 时，代入得：
$ -3 = -\frac{2}{3}x $，
解得 $ x = \frac{9}{2} $。
(2) 设函数解析式为 $ y = k(x + 1) $（$ k ≠ 0 $），
将 $ x = -3 $，$ y = 2 $ 代入解析式得：
$ 2 = k(-3 + 1) $，
即 $ 2 = -2k $，
解得 $ k = -1 $，
则函数解析式为 $ y = -(x + 1) $。
当 $ y = -3 $ 时，代入得：
$ -3 = -(x + 1) $，
解得 $ x = 2 $。
10. 已知函数 $ y = (2m - 1)x + 1 - 4m $，当 $ m $ 为何值时，满足下列条件？
(1) $ y $ 是关于 $ x $ 的一次函数.
(2) $ y $ 是关于 $ x $ 的正比例函数.
(1) $ y $ 是关于 $ x $ 的一次函数.
(2) $ y $ 是关于 $ x $ 的正比例函数.
答案
解：
(1) 根据一次函数的定义，一次项系数不为0，即
$2m - 1 ≠ 0$
解得 $m ≠ \frac{1}{2}$
∴ 当$m ≠ \frac{1}{2}$时，$y$是关于$x$的一次函数。
(2) 根据正比例函数的定义，需满足：
$\begin{cases}2m - 1 ≠ 0 \\1 - 4m = 0\end{cases}$
由$1 - 4m = 0$，解得$m = \frac{1}{4}$
当$m = \frac{1}{4}$时，$2m - 1 = 2×\frac{1}{4} - 1 = -\frac{1}{2} ≠ 0$，符合条件
∴ 当$m = \frac{1}{4}$时，$y$是关于$x$的正比例函数。
(1) 根据一次函数的定义，一次项系数不为0，即
$2m - 1 ≠ 0$
解得 $m ≠ \frac{1}{2}$
∴ 当$m ≠ \frac{1}{2}$时，$y$是关于$x$的一次函数。
(2) 根据正比例函数的定义，需满足：
$\begin{cases}2m - 1 ≠ 0 \\1 - 4m = 0\end{cases}$
由$1 - 4m = 0$，解得$m = \frac{1}{4}$
当$m = \frac{1}{4}$时，$2m - 1 = 2×\frac{1}{4} - 1 = -\frac{1}{2} ≠ 0$，符合条件
∴ 当$m = \frac{1}{4}$时，$y$是关于$x$的正比例函数。
11. 某社区推行“绿色出行”积分活动，基础积分 50 分，每骑共享单车 1 km 加 2 分. 设骑行 $ x $ km，总积分 $ y $ 分，写出 $ y $ 与 $ x $ 的函数解析式，并判断是否为一次函数.
答案
解：
由题意得：
$ y = 2x + 50 $
根据一次函数的定义：形如$ y = kx + b $（$ k $、$ b $是常数，且$ k ≠ 0 $）的函数叫做一次函数。
在$ y = 2x + 50 $中，$ k = 2 ≠ 0 $，$ b = 50 $，满足一次函数的定义，
所以$ y $与$ x $的函数解析式为$ y = 2x + 50 $，该函数是一次函数。
由题意得：
$ y = 2x + 50 $
根据一次函数的定义：形如$ y = kx + b $（$ k $、$ b $是常数，且$ k ≠ 0 $）的函数叫做一次函数。
在$ y = 2x + 50 $中，$ k = 2 ≠ 0 $，$ b = 50 $，满足一次函数的定义，
所以$ y $与$ x $的函数解析式为$ y = 2x + 50 $，该函数是一次函数。
