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【对点训练】
2. 如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，在DE上取点F，使得EF = 2，连结CF，以CF为腰作等腰直角三角形CFG，点G恰好落在BE边上，则BG的长为。
2. 如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，在DE上取点F，使得EF = 2，连结CF，以CF为腰作等腰直角三角形CFG，点G恰好落在BE边上，则BG的长为。
答案
2√2
解析
设矩形ABCD中，AB=CD=a，AD=BC=b。BE平分∠ABC，∠ABC=90°，则∠ABE=∠EBC=45°，又AD//BC，故∠AEB=∠EBC=45°，△ABE为等腰直角三角形，AE=AB=a，E(a,a)。F在DE上，EF=2，F(a+2,a)。以CF为腰作等腰直角三角形CFG，G在BE（y=x）上，设G(g,g)。
情况分析：CF=FG且∠CFG=90°。向量FC=(b-a-2,-a)，向量FG=(g-a-2,g-a)。由垂直得(b-a-2)(g-a-2)-a(g-a)=0，由|FC|=|FG|得(b-a-2)²+a²=(g-a-2)²+(g-a)²。设t=b-a，m=t-2，s=g-a，解得m=a-2，s=2-a，故G(2,2)。BG=√(2²+2²)=2√2。
情况分析：CF=FG且∠CFG=90°。向量FC=(b-a-2,-a)，向量FG=(g-a-2,g-a)。由垂直得(b-a-2)(g-a-2)-a(g-a)=0，由|FC|=|FG|得(b-a-2)²+a²=(g-a-2)²+(g-a)²。设t=b-a，m=t-2，s=g-a，解得m=a-2，s=2-a，故G(2,2)。BG=√(2²+2²)=2√2。
1. 关于矩形的性质，以下说法不正确的是()
A.四个角都相等
B.对角线相等
C.对角线互相垂直
D.是轴对称图形
A.四个角都相等
B.对角线相等
C.对角线互相垂直
D.是轴对称图形
答案
C
解析
矩形的四个角都是直角，所以四个角都相等，A选项正确；矩形的对角线相等，B选项正确；矩形的对角线相等且互相平分，但不一定互相垂直，C选项错误；矩形是轴对称图形，D选项正确。因此选C。
2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠ACB = 25°，则∠AOB的大小是()
A.130°
B.65°
C.50°
D.25°
A.130°
B.65°
C.50°
D.25°
答案
C
解析
在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，所以AC=BD，且OA=OC=OB=OD（矩形对角线相等且互相平分）。因此，△OBC是等腰三角形，OB=OC。已知∠ACB=25°，即∠OCB=25°，所以∠OBC=∠OCB=25°。在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-25°=130°。因为∠AOB与∠BOC是邻补角，所以∠AOB=180°-∠BOC=180°-130°=50°。
3. 在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠BAD的平分线交BC于点E，若∠AOB = α，则用α表示∠OAE为()
A.$\frac{α}{2}$
B.45° - $\frac{α}{2}$
C.45° - α
D.90° - α
A.$\frac{α}{2}$
B.45° - $\frac{α}{2}$
C.45° - α
D.90° - α
答案
B
解析
在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，故OA=OB（矩形对角线相等且互相平分），△AOB为等腰三角形。∠AOB=α，根据三角形内角和定理，∠OAB=∠OBA=(180°-α)/2=90°-α/2。
AE是∠BAD的平分线，∠BAD=90°，故∠BAE=45°。
∠OAE=∠BAE-∠OAB=45°-(90°-α/2)=45°-α/2。
AE是∠BAD的平分线，∠BAD=90°，故∠BAE=45°。
∠OAE=∠BAE-∠OAB=45°-(90°-α/2)=45°-α/2。
4. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，CE垂直平分DO，AB = 4，则BE等于()
A.4
B.5
C.6
D.7
A.4
B.5
C.6
D.7
答案
C
解析
∵四边形ABCD是矩形，∴对角线AC=BD，且互相平分，即AO=BO=CO=DO。
∵CE垂直平分DO，∴CO=CD（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
∵AB=CD=4，∴CO=CD=4，故AC=2CO=8。
在Rt△ABC中，AB=4，AC=8，由勾股定理得：BC=√(AC²-AB²)=√(8²-4²)=√48=4√3。
设O为AC、BD中点，坐标法设B(0,0)，C(4√3,0)，D(4√3,4)，则O(2√3,2)。
DO中点E坐标为((4√3+2√3)/2,(4+2)/2)=(3√3,3)。
BE=√[(3√3-0)²+(3-0)²]=√(27+9)=√36=6。
∵CE垂直平分DO，∴CO=CD（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
∵AB=CD=4，∴CO=CD=4，故AC=2CO=8。
在Rt△ABC中，AB=4，AC=8，由勾股定理得：BC=√(AC²-AB²)=√(8²-4²)=√48=4√3。
设O为AC、BD中点，坐标法设B(0,0)，C(4√3,0)，D(4√3,4)，则O(2√3,2)。
DO中点E坐标为((4√3+2√3)/2,(4+2)/2)=(3√3,3)。
BE=√[(3√3-0)²+(3-0)²]=√(27+9)=√36=6。
5. 如图，在矩形ABCD中，DE//AC，CE//BD，AC = 4，则四边形OCED的周长为()
A.6
B.8
C.10
D.12
A.6
B.8
C.10
D.12
答案
B
解析
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=4，OA=OC=AC/2=2，OB=OD=BD/2=2（矩形对角线相等且互相平分）。
∵DE//AC，CE//BD，
∴四边形OCED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
又∵OC=OD=2，
∴平行四边形OCED是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）。
∴四边形OCED的周长=4×OC=4×2=8。
6. 如图，在矩形ABCD中，AB = 4，BC = 6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内一点F处，连结CF，则CF的长为()
A.$\frac{9}{5}$
B.$\frac{12}{5}$
C.$\frac{16}{5}$
D.$\frac{18}{5}$
A.$\frac{9}{5}$
B.$\frac{12}{5}$
C.$\frac{16}{5}$
D.$\frac{18}{5}$
答案
D
解析
以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，B(0,0)，A(0,4)，C(6,0)，D(6,4)，E为BC中点，E(3,0)。AE方程：y=(-4/3)x+4，BF⊥AE，斜率为3/4，BF方程：y=(3/4)x。联立AE与BF中点方程得F(96/25,72/25)。C(6,0)，CF=√[(6-96/25)²+(0-72/25)²]=√[(54/25)²+(72/25)²]=90/25=18/5。
