24. (12 分)如图①，在矩形$ABCD$中，$AB = 8$，$BC = 5$，点$E$在$AD$上，且$AE = 2$，点$F$是$AB$边上的一个动点.以$EF$为一边作菱形$EFMN$，使点$N$落在$CD$边上，点$M$落在矩形$ABCD$内或其边上.若$AF = x$，$△ BFM$的面积为$S$.
(1)求$S$与$x$之间的函数表达式.
(2)如图②，当四边形$EFMN$是正方形时，求$x$的值.
(3)① 当$x =$时，$△ BFM$的面积$S$最大；
② 当$x =$时，$△ BFM$的面积$S$最小.

解：
(1) ∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=5，∠A=∠D=90°，
∵AE=2，∴DE=AD-AE=5-2=3。
过点M作MG⊥AB于G，
∵四边形EFMN是菱形，
∴EN=FM，EN//FM，
∴∠DEN=∠GFM。
又∠D=∠MGF=90°，
∴△DEN≌△GFM（AAS），
∴MG=DE=3。
∵AF=x，AB=8，
∴FB=AB-AF=8-x，
∴$S=\frac{1}{2}× FB× MG=\frac{1}{2}(8-x)×3=-\frac{3}{2}x+12$（$\sqrt{5}≤ x≤\frac{69}{16}$）。
(2) 当四边形EFMN是正方形时，EF=EN，且EF⊥EN，
∴∠AEF+∠DEN=90°。
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠DEN=∠AFE。
又∠A=∠D=90°，EF=EN，
∴△AEF≌△DNE（AAS），
∴AF=DE=3，即x=3。
(3) ① $\sqrt{5}$；② $\frac{69}{16}$。