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(1)两种(
相关联
)的量，一种量变化，另一种量(也随着变化
)，如果这两种量中(相对应
)的两个数的(比值
)一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做(正比例关系
)，关系式是($\frac{x}{y}=k$(一定)
)。答案
1.(1)相关联 也随着变化 相对应 比值 正比例关系 $\frac{x}{y}=k$(一定)
解析
【分析】
要解决这道题，需回忆正比例量的定义。首先思考成正比例的量的前提：必须是两种相关联的量，即一种量的变化会引起另一种量的变化；接着明确核心特征：这两种量中相对应的两个数的比值是固定不变的；最后根据定义填写对应的关系名称和关系式。我们可以按照定义的逻辑顺序，逐个确定每个空的内容。
【解析】
根据正比例量的定义：
1. 成正比例的量首先是两种相关联的量，它们之间存在相互影响的关系；
2. 当一种量变化时，另一种量也随着变化，体现出量的变化关联性；
3. 关键特征是这两种量中相对应的两个数的比值一定，这是判断正比例的核心条件；
4. 具备上述特征的两种量叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系；
5. 用字母表示的关系式为$\frac{x}{y}=k$(一定)，其中x、y表示两种相关联的量，k表示固定的比值。
【答案】
相关联；也随着变化；相对应；比值；正比例关系；$\frac{x}{y}=k$(一定)
【知识点】
正比例的意义
【点评】
本题考查正比例量的基本定义，属于基础概念题，要求学生准确识记正比例概念的各个要素，是后续判断两种量是否成正比例的基础。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需回忆正比例量的定义。首先思考成正比例的量的前提：必须是两种相关联的量，即一种量的变化会引起另一种量的变化；接着明确核心特征：这两种量中相对应的两个数的比值是固定不变的；最后根据定义填写对应的关系名称和关系式。我们可以按照定义的逻辑顺序，逐个确定每个空的内容。
【解析】
根据正比例量的定义：
1. 成正比例的量首先是两种相关联的量，它们之间存在相互影响的关系；
2. 当一种量变化时，另一种量也随着变化，体现出量的变化关联性；
3. 关键特征是这两种量中相对应的两个数的比值一定，这是判断正比例的核心条件；
4. 具备上述特征的两种量叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系；
5. 用字母表示的关系式为$\frac{x}{y}=k$(一定)，其中x、y表示两种相关联的量，k表示固定的比值。
【答案】
相关联；也随着变化；相对应；比值；正比例关系；$\frac{x}{y}=k$(一定)
【知识点】
正比例的意义
【点评】
本题考查正比例量的基本定义，属于基础概念题，要求学生准确识记正比例概念的各个要素，是后续判断两种量是否成正比例的基础。
【难度系数】
0.8
(2)小明的年龄和他的体重(
不成比例
)。答案
1.(2)不成比例
解析
【分析】
要判断两种量是否成比例，需先明确成比例的两种量需满足两个核心条件：一是两种量相关联，一种量变化另一种量也随之变化；二是两种量的比值（成正比例）或乘积（成反比例）是固定值。小明的年龄和体重虽然是相关联的量，年龄增长时体重通常会发生变化，但体重与年龄的比值不是固定值，乘积也不是固定值，比如不同年龄段体重增长幅度不同，成年后体重可能不再随年龄增长而明显变化，因此不符合成比例的条件。
【解析】
判断两种量成比例的关键：两种相关联的量，若比值一定则成正比例，若乘积一定则成反比例。
小明的年龄和体重是相关联的量，但体重随年龄变化的过程中，二者的比值和乘积都不固定，因此小明的年龄和体重不成比例。
【答案】
不成比例
【知识点】
成比例量的判断
【点评】
本题考查对成比例量的判断，学生容易仅因两种量相关联就误判成比例，需牢记成比例的核心是两种量的比值或乘积一定。
【难度系数】
0.7
要判断两种量是否成比例，需先明确成比例的两种量需满足两个核心条件：一是两种量相关联，一种量变化另一种量也随之变化；二是两种量的比值（成正比例）或乘积（成反比例）是固定值。小明的年龄和体重虽然是相关联的量，年龄增长时体重通常会发生变化，但体重与年龄的比值不是固定值，乘积也不是固定值，比如不同年龄段体重增长幅度不同，成年后体重可能不再随年龄增长而明显变化，因此不符合成比例的条件。
【解析】
判断两种量成比例的关键：两种相关联的量，若比值一定则成正比例，若乘积一定则成反比例。
小明的年龄和体重是相关联的量，但体重随年龄变化的过程中，二者的比值和乘积都不固定，因此小明的年龄和体重不成比例。
【答案】
不成比例
【知识点】
成比例量的判断
【点评】
本题考查对成比例量的判断，学生容易仅因两种量相关联就误判成比例，需牢记成比例的核心是两种量的比值或乘积一定。
【难度系数】
0.7
(3)$a× b = c$，当$a$一定时，(
b
)和(c
)成正比例；当$b$一定时，(a
)和(c
)成正比例。答案
1.(3)b c a c
解析
【分析】
要解决这道题，首先得明确正比例的定义：两种相关联的量，若它们的比值（商）一定，则这两种量成正比例。我们先对给定的等式$a×b = c$进行变形，根据不同的定值来判断哪两个量的比值固定。
1. 当$a$一定时，把等式变形为$c÷b = a$，这里$a$是固定值，说明$c$和$b$的比值始终不变，所以这两个量成正比例；
2. 当$b$一定时，把等式变形为$c÷a = b$，这里$b$是固定值，说明$c$和$a$的比值始终不变，所以这两个量成正比例。
【解析】
根据正比例的定义：两种相关联的量，比值一定则成正比例。
当$a$一定时，由$a×b = c$可得$\frac{c}{b}=a$（定值），因此$b$和$c$成正比例；
当$b$一定时，由$a×b = c$可得$\frac{c}{a}=b$（定值），因此$a$和$c$成正比例。
【答案】
$b$；$c$；$a$；$c$
【知识点】
正比例的判定
【点评】
本题主要考查正比例关系的判定，核心是理解“比值一定”这一关键条件，通过对乘法等式的变形，找到比值固定的两个相关联的量，重点在于对正比例概念的准确把握。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先得明确正比例的定义：两种相关联的量，若它们的比值（商）一定，则这两种量成正比例。我们先对给定的等式$a×b = c$进行变形，根据不同的定值来判断哪两个量的比值固定。
1. 当$a$一定时，把等式变形为$c÷b = a$，这里$a$是固定值，说明$c$和$b$的比值始终不变，所以这两个量成正比例；
2. 当$b$一定时，把等式变形为$c÷a = b$，这里$b$是固定值，说明$c$和$a$的比值始终不变，所以这两个量成正比例。
【解析】
根据正比例的定义：两种相关联的量，比值一定则成正比例。
当$a$一定时，由$a×b = c$可得$\frac{c}{b}=a$（定值），因此$b$和$c$成正比例；
当$b$一定时，由$a×b = c$可得$\frac{c}{a}=b$（定值），因此$a$和$c$成正比例。
【答案】
$b$；$c$；$a$；$c$
【知识点】
正比例的判定
【点评】
本题主要考查正比例关系的判定，核心是理解“比值一定”这一关键条件，通过对乘法等式的变形，找到比值固定的两个相关联的量，重点在于对正比例概念的准确把握。
【难度系数】
0.8
2. 判断下面每题中的两种量是不是正比例关系，是的打“√”，不是的打“×”。
(1)行走的速度一定，所走的路程和时间。(
(2)每本书的单价一定，买书的本数和总价。(
(3)圆的周长和面积。(
(4)被减数一定，减数与差。(
(5)若$4x = 6y$($x$、$y$不为$0$)，$x$与$y$。(
(1)行走的速度一定，所走的路程和时间。(
√
)(2)每本书的单价一定，买书的本数和总价。(
√
)(3)圆的周长和面积。(
×
)(4)被减数一定，减数与差。(
×
)(5)若$4x = 6y$($x$、$y$不为$0$)，$x$与$y$。(
√
)答案
2.(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
解析
【分析】
要判断两种量是否成正比例关系，需依据正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，且相对应两个数的比值（商）一定，就成正比例关系。我们逐个分析：
1. 对于行走的速度一定，路程和时间：路程随时间变化而变化，且路程÷时间=速度（定值），符合正比例关系的条件。
2. 每本书单价一定，买书的本数和总价：总价随本数变化而变化，总价÷本数=单价（定值），满足正比例关系。
3. 圆的周长和面积：周长=2πr，面积=πr²，周长与面积的比值=2πr÷πr²=2/r，r变化时比值也变化，不是定值，不成正比例。
4. 被减数一定，减数与差：被减数=减数+差，是和的关系，不是比值一定，不符合正比例定义。
5. 由4x=6y（x、y不为0），变形得x/y=6/4=1.5（定值），x和y的比值一定，成正比例。
【解析】
根据正比例关系的定义：两种相关联的量，若相对应的两个数的比值（商）一定，则成正比例关系。
(1) 因为$\frac{路程}{时间}=速度$（一定），比值一定，所以所走的路程和时间成正比例关系，打“√”。
(2) 因为$\frac{总价}{本数}=单价$（一定），比值一定，所以买书的本数和总价成正比例关系，打“√”。
(3) 圆的周长$C=2π r$，面积$S=π r^2$，则$\frac{C}{S}=\frac{2π r}{π r^2}=\frac{2}{r}$，r是变化的，比值不是定值，所以圆的周长和面积不成正比例关系，打“×”。
(4) 因为$减数+差=被减数$（一定），是和一定，不是比值一定，所以减数与差不成正比例关系，打“×”。
(5) 由$4x=6y$（x、y不为0），可得$\frac{x}{y}=\frac{6}{4}=1.5$（一定），比值一定，所以x与y成正比例关系，打“√”。
【答案】
(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
【知识点】
正比例关系的判断
【点评】
本题主要考查正比例关系的判断，解题关键是紧扣正比例的定义，区分“比值一定”和“和一定、积一定”的不同情况，熟练掌握常见数量关系和公式是解题的基础。
【难度系数】
0.8
要判断两种量是否成正比例关系，需依据正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，且相对应两个数的比值（商）一定，就成正比例关系。我们逐个分析：
1. 对于行走的速度一定，路程和时间：路程随时间变化而变化，且路程÷时间=速度（定值），符合正比例关系的条件。
2. 每本书单价一定，买书的本数和总价：总价随本数变化而变化，总价÷本数=单价（定值），满足正比例关系。
3. 圆的周长和面积：周长=2πr，面积=πr²，周长与面积的比值=2πr÷πr²=2/r，r变化时比值也变化，不是定值，不成正比例。
4. 被减数一定，减数与差：被减数=减数+差，是和的关系，不是比值一定，不符合正比例定义。
5. 由4x=6y（x、y不为0），变形得x/y=6/4=1.5（定值），x和y的比值一定，成正比例。
【解析】
根据正比例关系的定义：两种相关联的量，若相对应的两个数的比值（商）一定，则成正比例关系。
(1) 因为$\frac{路程}{时间}=速度$（一定），比值一定，所以所走的路程和时间成正比例关系，打“√”。
(2) 因为$\frac{总价}{本数}=单价$（一定），比值一定，所以买书的本数和总价成正比例关系，打“√”。
(3) 圆的周长$C=2π r$，面积$S=π r^2$，则$\frac{C}{S}=\frac{2π r}{π r^2}=\frac{2}{r}$，r是变化的，比值不是定值，所以圆的周长和面积不成正比例关系，打“×”。
(4) 因为$减数+差=被减数$（一定），是和一定，不是比值一定，所以减数与差不成正比例关系，打“×”。
(5) 由$4x=6y$（x、y不为0），可得$\frac{x}{y}=\frac{6}{4}=1.5$（一定），比值一定，所以x与y成正比例关系，打“√”。
【答案】
(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
【知识点】
正比例关系的判断
【点评】
本题主要考查正比例关系的判断，解题关键是紧扣正比例的定义，区分“比值一定”和“和一定、积一定”的不同情况，熟练掌握常见数量关系和公式是解题的基础。
【难度系数】
0.8
3. 一批钢材每吨$0.4$万元。购买$1$吨，$2$吨，$3$吨$······$钢材分别需要多少万元？
(1)根据提供的信息，把下表填写完整。
(2)钢材的单价一定，购买钢材的吨数和需要的钱数成什么比例？说明理由。
(1)根据提供的信息，把下表填写完整。
(2)钢材的单价一定，购买钢材的吨数和需要的钱数成什么比例？说明理由。
答案
3.(1)
(2)正比例 比值一定
解析
【分析】
对于第(1)问，已知钢材单价为每吨0.4万元，根据“总价=单价×数量”的关系，用对应的吨数乘以0.4，就能算出购买该吨数钢材需要的钱数，依次计算4到10吨对应的总价即可完成表格填写。
对于第(2)问，回忆正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量。通过观察钱数和吨数的比值是否为定值，来判断成什么比例。
【解析】
(1) 根据总价=单价×数量，计算各吨数对应的钱数：
4吨：$4×0.4=1.6$（万元）
5吨：$5×0.4=2.0$（万元）
6吨：$6×0.4=2.4$（万元）
7吨：$7×0.4=2.8$（万元）
8吨：$8×0.4=3.2$（万元）
9吨：$9×0.4=3.6$（万元）
10吨：$10×0.4=4.0$（万元）
将结果填入对应表格位置。
(2) 购买钢材的吨数和需要的钱数成正比例。
理由：因为$\frac{需要的钱数}{购买钢材的吨数}=钢材的单价$（0.4万元/吨，为定值），符合正比例的定义，即两种相关联的量的比值一定，所以二者成正比例。
【答案】
(1) 表格中依次填入：1.6、2.0、2.4、2.8、3.2、3.6、4.0
(2) 成正比例；理由是需要的钱数与购买钢材吨数的比值（单价）一定。
【知识点】
单价数量总价关系、正比例的判断
【点评】
本题考查了基础的数量关系计算和正比例的判断，既需要掌握“总价=单价×数量”的基本公式，也需要理解正比例的核心定义，通过简单计算和概念辨析即可解决，有助于巩固基础数学知识。
【难度系数】
0.9
对于第(1)问，已知钢材单价为每吨0.4万元，根据“总价=单价×数量”的关系，用对应的吨数乘以0.4，就能算出购买该吨数钢材需要的钱数，依次计算4到10吨对应的总价即可完成表格填写。
对于第(2)问，回忆正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量。通过观察钱数和吨数的比值是否为定值，来判断成什么比例。
【解析】
(1) 根据总价=单价×数量，计算各吨数对应的钱数：
4吨：$4×0.4=1.6$（万元）
5吨：$5×0.4=2.0$（万元）
6吨：$6×0.4=2.4$（万元）
7吨：$7×0.4=2.8$（万元）
8吨：$8×0.4=3.2$（万元）
9吨：$9×0.4=3.6$（万元）
10吨：$10×0.4=4.0$（万元）
将结果填入对应表格位置。
(2) 购买钢材的吨数和需要的钱数成正比例。
理由：因为$\frac{需要的钱数}{购买钢材的吨数}=钢材的单价$（0.4万元/吨，为定值），符合正比例的定义，即两种相关联的量的比值一定，所以二者成正比例。
【答案】
(1) 表格中依次填入：1.6、2.0、2.4、2.8、3.2、3.6、4.0
(2) 成正比例；理由是需要的钱数与购买钢材吨数的比值（单价）一定。
【知识点】
单价数量总价关系、正比例的判断
【点评】
本题考查了基础的数量关系计算和正比例的判断，既需要掌握“总价=单价×数量”的基本公式，也需要理解正比例的核心定义，通过简单计算和概念辨析即可解决，有助于巩固基础数学知识。
【难度系数】
0.9
4. 先填表，再回答问题。
(1)圆的周长与半径成正比例关系吗？为什么？
(2)圆的面积与半径成正比例关系吗？为什么？
(1)圆的周长与半径成正比例关系吗？为什么？
(2)圆的面积与半径成正比例关系吗？为什么？
答案
4.
(1)因为圆的周长÷半径=$2π$(一定),所以圆的周长与半径成正比例关系。
(2)因为圆的面积÷半径的平方=$π$,所以圆的面积与半径的平方成正比例，而圆的面积与半径不成正比例关系。
解析
【分析】
首先我们需要利用圆的直径、周长、面积与半径的计算公式完成表格：直径$d=2r$，周长$C=2π r=π d$，面积$S=π r^2$。然后根据正比例的定义（两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量）来判断周长与半径、面积与半径是否成正比例。
1. 填表时，分别根据已知的半径、直径、周长，代入公式计算出未知的量；
2. 判断正比例关系时，看两个量的比值是否为定值，若比值一定则成正比例，反之不成。
【解析】
一、填表
1. 第一行（半径$5\mathrm{cm}$）：
直径：$d = 2r = 2×5 = 10\ \mathrm{cm}$
周长：$C = 2π r = 2×3.14×5 = 31.4\ \mathrm{cm}$
面积：$S = π r^2 = 3.14×5^2 = 78.5\ \mathrm{cm}^2$
2. 第二行（直径$20\mathrm{cm}$）：
半径：$r = d÷2 = 20÷2 = 10\ \mathrm{cm}$
周长：$C = π d = 3.14×20 = 62.8\ \mathrm{cm}$
面积：$S = π r^2 = 3.14×10^2 = 314\ \mathrm{cm}^2$
3. 第三行（周长$3.14\mathrm{cm}$）：
半径：$r = C÷(2π) = 3.14÷(2×3.14) = 0.5\ \mathrm{cm}$
直径：$d = 2r = 2×0.5 = 1\ \mathrm{cm}$
面积：$S = π r^2 = 3.14×0.5^2 = 0.785\ \mathrm{cm}^2$
填写后的表格如下：
| 半径/cm | 5 | 10 | 0.5 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 直径/cm | 10 | 20 | 1 |
| 周长/cm | 31.4 | 62.8 | 3.14 |
| 面积/cm² | 78.5 | 314 | 0.785 |
二、回答问题
(1) 圆的周长与半径成正比例关系。
理由：因为圆的周长公式为$C = 2π r$，变形可得$\frac{C}{r}=2π$（$2π$是一个固定不变的定值），根据正比例的定义，两种相关联的量的比值一定，所以圆的周长与半径成正比例关系。
(2) 圆的面积与半径不成正比例关系。
理由：圆的面积公式为$S = π r^2$，变形可得$\frac{S}{r}=π r$，由于半径$r$是一个变化的量，所以$π r$不是固定的定值，不符合正比例的定义，因此圆的面积与半径不成正比例关系。
【答案】
填写后的表格：
| 半径/cm | 5 | 10 | 0.5 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 直径/cm | 10 | 20 | 1 |
| 周长/cm | 31.4 | 62.8 | 3.14 |
| 面积/cm² | 78.5 | 314 | 0.785 |
(1) 成正比例关系，因为圆的周长÷半径$=2π$（一定），符合正比例关系的定义。
(2) 不成正比例关系，因为圆的面积÷半径$=π r$（不是定值），不符合正比例关系的定义。
【知识点】
1. 圆的周长计算
2. 圆的面积计算
3. 正比例的判断
【点评】
本题综合考查了圆的相关计算公式以及正比例关系的判断，需要熟练掌握圆的直径、周长、面积与半径的关系，同时准确理解正比例的定义，通过计算比值是否为定值来判断两种量是否成正比例。
【难度系数】
0.6
首先我们需要利用圆的直径、周长、面积与半径的计算公式完成表格：直径$d=2r$，周长$C=2π r=π d$，面积$S=π r^2$。然后根据正比例的定义（两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量）来判断周长与半径、面积与半径是否成正比例。
1. 填表时，分别根据已知的半径、直径、周长，代入公式计算出未知的量；
2. 判断正比例关系时，看两个量的比值是否为定值，若比值一定则成正比例，反之不成。
【解析】
一、填表
1. 第一行（半径$5\mathrm{cm}$）：
直径：$d = 2r = 2×5 = 10\ \mathrm{cm}$
周长：$C = 2π r = 2×3.14×5 = 31.4\ \mathrm{cm}$
面积：$S = π r^2 = 3.14×5^2 = 78.5\ \mathrm{cm}^2$
2. 第二行（直径$20\mathrm{cm}$）：
半径：$r = d÷2 = 20÷2 = 10\ \mathrm{cm}$
周长：$C = π d = 3.14×20 = 62.8\ \mathrm{cm}$
面积：$S = π r^2 = 3.14×10^2 = 314\ \mathrm{cm}^2$
3. 第三行（周长$3.14\mathrm{cm}$）：
半径：$r = C÷(2π) = 3.14÷(2×3.14) = 0.5\ \mathrm{cm}$
直径：$d = 2r = 2×0.5 = 1\ \mathrm{cm}$
面积：$S = π r^2 = 3.14×0.5^2 = 0.785\ \mathrm{cm}^2$
填写后的表格如下：
| 半径/cm | 5 | 10 | 0.5 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 直径/cm | 10 | 20 | 1 |
| 周长/cm | 31.4 | 62.8 | 3.14 |
| 面积/cm² | 78.5 | 314 | 0.785 |
二、回答问题
(1) 圆的周长与半径成正比例关系。
理由：因为圆的周长公式为$C = 2π r$，变形可得$\frac{C}{r}=2π$（$2π$是一个固定不变的定值），根据正比例的定义，两种相关联的量的比值一定，所以圆的周长与半径成正比例关系。
(2) 圆的面积与半径不成正比例关系。
理由：圆的面积公式为$S = π r^2$，变形可得$\frac{S}{r}=π r$，由于半径$r$是一个变化的量，所以$π r$不是固定的定值，不符合正比例的定义，因此圆的面积与半径不成正比例关系。
【答案】
填写后的表格：
| 半径/cm | 5 | 10 | 0.5 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 直径/cm | 10 | 20 | 1 |
| 周长/cm | 31.4 | 62.8 | 3.14 |
| 面积/cm² | 78.5 | 314 | 0.785 |
(1) 成正比例关系，因为圆的周长÷半径$=2π$（一定），符合正比例关系的定义。
(2) 不成正比例关系，因为圆的面积÷半径$=π r$（不是定值），不符合正比例关系的定义。
【知识点】
1. 圆的周长计算
2. 圆的面积计算
3. 正比例的判断
【点评】
本题综合考查了圆的相关计算公式以及正比例关系的判断，需要熟练掌握圆的直径、周长、面积与半径的关系，同时准确理解正比例的定义，通过计算比值是否为定值来判断两种量是否成正比例。
【难度系数】
0.6
