22. 如图，在$ △ ABC $中，$ ∠ ABC=45° $，$ DH $垂直平分$ BC $，交$ AB $于点$ D $，$ BE $平分$ ∠ ABC $，且$ BE⊥ AC $于点$ E $，与$ CD $相交于点$ F $，试说明：
（1）$ ∠ BDC=90° $.
（2）$ BF=AC $.
（3）$ CE=\frac{1}{2}BF $.

22. 解:(1)$ \because DH $ 垂直平分 $ BC $, $ \therefore BD = CD $. $ \therefore ∠ DCB=∠ ABC = 45° $. $ \therefore ∠ BDC = 180°-45°-45°=90° $. (2)由(1)知, $ BD = CD $, $ ∠ BDC = 90° $. $ \because BE⊥ AC $, $ \therefore ∠ AEB = 90° $. $ \therefore ∠ A+∠ DBF = 90° $, $ ∠ A+∠ DCA = 90° $. $ \therefore ∠ DBF=∠ DCA $. 在 $ △ BDF $ 和 $ △ CDA $ 中, $ \begin{cases} ∠ BDF=∠ CDA, \\ BD = CD, \\ ∠ DBF=∠ DCA, \end{cases} $ $ \therefore △ BDF≌△ CDA(ASA) $. $ \therefore BF = AC $. (3)$ \because BE $ 平分 $ ∠ ABC $, 且 $ BE⊥ AC $, $ \therefore ∠ ABE=∠ CBE $, $ ∠ AEB=∠ CEB = 90° $. 在 $ △ ABE $ 和 $ △ CBE $ 中, $ \begin{cases} ∠ ABE=∠ CBE, \\ BE = BE, \\ ∠ AEB=∠ CEB, \end{cases} $ $ \therefore △ ABE≌△ CBE(ASA) $. $ \therefore CE = AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BF $.

23. 乐乐和数学小组的同学们研究了以下问题，请你也来试一下吧！
如图，在同一平面内，乐乐他们把一个等腰直角三角板$ ABC $任意放置，其中直角顶点$ C $在直线$ l_{1} $上，过点$ A $作直线$ l_{2}⊥ l_{1} $，垂足为$ M $，过点$ B $作直线$ l_{3}⊥ l_{1} $，垂足为$ N $.
(1)当直线$ l_{2} $，$ l_{3} $位于点$ C $的异侧时，如图$ 1 $，线段$ BN $，$ AM $与$ MN $之间的数量关系为(不必说明理由).
(2)当直线$ l_{2} $，$ l_{3} $位于点$ C $的右侧时，如图$ 2 $，判断线段$ BN $，$ AM $与$ MN $之间的数量关系，并说明理由.
(3)当直线$ l_{2} $，$ l_{3} $位于点$ C $的左侧时，如图$ 3 $，请补全图形，并直接写出线段$ BN $，$ AM $，$ MN $之间的数量关系.

23. 解:(1)$ MN = AM + BN $ (2)$ MN = BN - AM $. 理由:$ \because l_{2}⊥ l_{1} $, $ l_{3}⊥ l_{1} $, $ \therefore ∠ BNC=∠ CMA = 90° $. $ \therefore ∠ ACM+∠ CAM = 90° $. $ \because ∠ ACB = 90° $, $ \therefore ∠ ACM+∠ BCN = 90° $. $ \therefore ∠ CAM=∠ BCN $. 在 $ △ CBN $ 和 $ △ ACM $ 中, $ \begin{cases} ∠ BNC=∠ CMA, \\ ∠ BCN=∠ CAM, \\ BC = CA, \end{cases} $ $ \therefore △ CBN≌△ ACM(AAS) $. $ \therefore BN = CM $, $ NC = AM $. $ \therefore MN = CM - CN = BN - AM $. (3)补全图形略. 结论:$ MN = AM - BN $.