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16. 已知$(x - 1)^{\vert x\vert - 1}=1$，则$x=$
-1或2
.答案
16. -1或2
解析
【解析】
要使$(x - 1)^{\vert x\vert - 1}=1$，分以下三种情况讨论：
1. 零指数幂情况：当指数为0且底数不为0时，
$\begin{cases} \vert x\vert - 1 = 0 \\ x - 1 ≠ 0 \end{cases}$
由$\vert x\vert - 1 = 0$得$x = \pm1$，结合$x ≠ 1$，得$x = -1$。
2. 底数为1的情况：当$x - 1 = 1$时，解得$x = 2$，
此时$\vert 2\vert - 1 = 1$，$1^1 = 1$，等式成立。
3. 底数为-1的情况：当$x - 1 = -1$时，解得$x = 0$，
此时$\vert 0\vert - 1 = -1$，$(-1)^{-1} = -1 ≠ 1$，等式不成立，舍去。
综上，$x = -1$或$2$。
【答案】
-1或2
【知识点】
零指数幂的性质，有理数的乘方，绝对值的运算
【点评】
本题考查幂等于1的多种情况，需通过分类讨论求解，解题时要注意排除不成立的解，考查了分类讨论思想和对幂的相关性质的掌握。
【难度系数】
0.4
要使$(x - 1)^{\vert x\vert - 1}=1$，分以下三种情况讨论：
1. 零指数幂情况：当指数为0且底数不为0时，
$\begin{cases} \vert x\vert - 1 = 0 \\ x - 1 ≠ 0 \end{cases}$
由$\vert x\vert - 1 = 0$得$x = \pm1$，结合$x ≠ 1$，得$x = -1$。
2. 底数为1的情况：当$x - 1 = 1$时，解得$x = 2$，
此时$\vert 2\vert - 1 = 1$，$1^1 = 1$，等式成立。
3. 底数为-1的情况：当$x - 1 = -1$时，解得$x = 0$，
此时$\vert 0\vert - 1 = -1$，$(-1)^{-1} = -1 ≠ 1$，等式不成立，舍去。
综上，$x = -1$或$2$。
【答案】
-1或2
【知识点】
零指数幂的性质，有理数的乘方，绝对值的运算
【点评】
本题考查幂等于1的多种情况，需通过分类讨论求解，解题时要注意排除不成立的解，考查了分类讨论思想和对幂的相关性质的掌握。
【难度系数】
0.4
17. 我们知道下面的结论：若$a^{m}=a^{n}(a ＞ 0$，且$a≠ 1)$，则$m = n$.利用这个结论解决下列问题：设$2^{m}=3$，$2^{n}=6$，$2^{p}=12$.现给出$m$，$n$，$p$三者之间的三个关系式：①$m + p = 2n$，②$m + n = 2p - 3$，③$n^{2}-mp = 1$.其中正确的是
①②③
.(填序号)答案
17. ①②③
解析
【解析】
已知$2^m=3$，$2^n=6$，$2^p=12$，逐一验证关系式：
1. 验证①$m + p = 2n$：
$2^{m+p}=2^m · 2^p=3 × 12=36$，$2^{2n}=(2^n)^2=6^2=36$，则$2^{m+p}=2^{2n}$，根据已知结论得$m+p=2n$，①正确。
2. 验证②$m + n = 2p - 3$：
$2^{m+n}=2^m · 2^n=3 × 6=18$，$2^{2p-3}=\frac{(2^p)^2}{2^3}=\frac{12^2}{8}=\frac{144}{8}=18$，则$2^{m+n}=2^{2p-3}$，根据已知结论得$m+n=2p-3$，②正确。
3. 验证③$n^2 - mp = 1$：
由$2^n=6=2 × 3=2 × 2^m=2^{m+1}$，得$n=m+1$；由$2^p=12=4 × 3=2^2 × 2^m=2^{m+2}$，得$p=m+2$。
代入$n^2 - mp$得：$(m+1)^2 - m(m+2)=m^2+2m+1 - m^2-2m=1$，③正确。
综上，正确的是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
同底数幂的运算，指数相等性质，代数式化简
【点评】
本题考查幂的运算性质的逆用，需结合指数相等的结论推导关系式，同时通过代数式代入化简验证等式，对运算能力和逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
已知$2^m=3$，$2^n=6$，$2^p=12$，逐一验证关系式：
1. 验证①$m + p = 2n$：
$2^{m+p}=2^m · 2^p=3 × 12=36$，$2^{2n}=(2^n)^2=6^2=36$，则$2^{m+p}=2^{2n}$，根据已知结论得$m+p=2n$，①正确。
2. 验证②$m + n = 2p - 3$：
$2^{m+n}=2^m · 2^n=3 × 6=18$，$2^{2p-3}=\frac{(2^p)^2}{2^3}=\frac{12^2}{8}=\frac{144}{8}=18$，则$2^{m+n}=2^{2p-3}$，根据已知结论得$m+n=2p-3$，②正确。
3. 验证③$n^2 - mp = 1$：
由$2^n=6=2 × 3=2 × 2^m=2^{m+1}$，得$n=m+1$；由$2^p=12=4 × 3=2^2 × 2^m=2^{m+2}$，得$p=m+2$。
代入$n^2 - mp$得：$(m+1)^2 - m(m+2)=m^2+2m+1 - m^2-2m=1$，③正确。
综上，正确的是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
同底数幂的运算，指数相等性质，代数式化简
【点评】
本题考查幂的运算性质的逆用，需结合指数相等的结论推导关系式，同时通过代数式代入化简验证等式，对运算能力和逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
18. 已知$x + x^{-1}=4$，①求$x^{2}+x^{-2}$的值；②求$x^{3}+x^{-3}$的值.
答案
18. 解：①$\because x + x^{-1} = 4$，
$\therefore (x + x^{-1})^{2} = 16$，$x^{2} + x^{-2} = 16 - 2 = 14$
②$\because (x^{2} + x^{-2})(x + x^{-1}) = 14 × 4$，
$\therefore x^{3} + x + x^{-1} + x^{-3} = 56$，
$\therefore x^{3} + x^{-3} = 56 - 4 = 52$。
$\therefore (x + x^{-1})^{2} = 16$，$x^{2} + x^{-2} = 16 - 2 = 14$
②$\because (x^{2} + x^{-2})(x + x^{-1}) = 14 × 4$，
$\therefore x^{3} + x + x^{-1} + x^{-3} = 56$，
$\therefore x^{3} + x^{-3} = 56 - 4 = 52$。
解析
【解析】
①$\because x + x^{-1}=4$，
$\therefore (x + x^{-1})^{2}=4^{2}=16$，
根据完全平方公式展开得$x^{2}+2· x· x^{-1}+x^{-2}=16$，
又$x· x^{-1}=1$，故$x^{2}+x^{-2}=16-2=14$；
②由①得$x^{2}+x^{-2}=14$，将其与$x + x^{-1}=4$相乘：
$(x^{2}+x^{-2})(x + x^{-1})=14×4=56$，
展开左边多项式得$x^{3}+x+x^{-1}+x^{-3}=56$，
将$x + x^{-1}=4$整体代入，可得$x^{3}+x^{-3}=56-4=52$。
【答案】
①$\boldsymbol{14}$；②$\boldsymbol{52}$
【知识点】
完全平方公式、整体代入思想
【点评】
本题考查代数式的恒等变形与整体代入求值，通过对已知低次代数式进行平方、乘法运算，将高次代数式转化为已知式的形式求解，重点考查代数变形能力与整体思想的应用。
【难度系数】
0.7
①$\because x + x^{-1}=4$，
$\therefore (x + x^{-1})^{2}=4^{2}=16$，
根据完全平方公式展开得$x^{2}+2· x· x^{-1}+x^{-2}=16$，
又$x· x^{-1}=1$，故$x^{2}+x^{-2}=16-2=14$；
②由①得$x^{2}+x^{-2}=14$，将其与$x + x^{-1}=4$相乘：
$(x^{2}+x^{-2})(x + x^{-1})=14×4=56$，
展开左边多项式得$x^{3}+x+x^{-1}+x^{-3}=56$，
将$x + x^{-1}=4$整体代入，可得$x^{3}+x^{-3}=56-4=52$。
【答案】
①$\boldsymbol{14}$；②$\boldsymbol{52}$
【知识点】
完全平方公式、整体代入思想
【点评】
本题考查代数式的恒等变形与整体代入求值，通过对已知低次代数式进行平方、乘法运算，将高次代数式转化为已知式的形式求解，重点考查代数变形能力与整体思想的应用。
【难度系数】
0.7
