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5. 如图，△ABC与△DEF是成中心对称的两个三角形，试找出对称中心.
答案
1. 连接对应点：
连接$AD$和$CF$；
2. 找到两条对应点连线的中点：
测量或通过几何作图确定$AD$的中点；
测量或通过几何作图确定$CF$的中点；
3. 由于$△ ABC$与$△ DEF$是成中心对称的，所以$AD$和$CF$的中点重合，该点即为对称中心。
对称中心为$AD$和$CF$的交点（即两条线段中点的重合点）。
连接$AD$和$CF$；
2. 找到两条对应点连线的中点：
测量或通过几何作图确定$AD$的中点；
测量或通过几何作图确定$CF$的中点；
3. 由于$△ ABC$与$△ DEF$是成中心对称的，所以$AD$和$CF$的中点重合，该点即为对称中心。
对称中心为$AD$和$CF$的交点（即两条线段中点的重合点）。
解析
【分析】
要找出成中心对称的两个三角形的对称中心，需利用中心对称的核心性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分。因此解题思路为：先连接两组对应点，这两组对应点连线的交点（即中点重合点）就是对称中心。
【解析】
1. 连接对应点：选取两组对应点，比如连接$AD$和$CF$（也可选择连接$BE$等其他对应点连线）；
2. 确定交点：由于$△ ABC$与$△ DEF$成中心对称，根据中心对称的性质，$AD$和$CF$的中点是同一个点，且两条线段相交于该点；
3. 得出结论：这个重合的中点（即$AD$与$CF$的交点）就是$△ ABC$和$△ DEF$的对称中心。
【答案】
$AD$与$CF$（或其他对应点连线）的交点（即对应点连线的中点重合点）
【知识点】
中心对称的性质，对称中心的确定
【点评】
本题考查中心对称性质的实际应用，解题关键是牢记成中心对称的图形中对应点连线的特征，通过连接对应点即可快速确定对称中心，属于基础题型，易于掌握。
【难度系数】
0.8
要找出成中心对称的两个三角形的对称中心，需利用中心对称的核心性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分。因此解题思路为：先连接两组对应点，这两组对应点连线的交点（即中点重合点）就是对称中心。
【解析】
1. 连接对应点：选取两组对应点，比如连接$AD$和$CF$（也可选择连接$BE$等其他对应点连线）；
2. 确定交点：由于$△ ABC$与$△ DEF$成中心对称，根据中心对称的性质，$AD$和$CF$的中点是同一个点，且两条线段相交于该点；
3. 得出结论：这个重合的中点（即$AD$与$CF$的交点）就是$△ ABC$和$△ DEF$的对称中心。
【答案】
$AD$与$CF$（或其他对应点连线）的交点（即对应点连线的中点重合点）
【知识点】
中心对称的性质，对称中心的确定
【点评】
本题考查中心对称性质的实际应用，解题关键是牢记成中心对称的图形中对应点连线的特征，通过连接对应点即可快速确定对称中心，属于基础题型，易于掌握。
【难度系数】
0.8
6. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°.以AC的中点O为对称中心，画出与△ABC关于点O成中心对称的△DEF，点A，B，C的对称点分别是D，E，F，并写出BE与BO的关系.
答案
1. 画图步骤：
连接AO并延长至D，使OD=AO，得点A的对称点D；
连接CO并延长至F，使OF=CO，得点C的对称点F；
连接BO并延长至E，使OE=BO，得点B的对称点E；
连接D、E、F，△DEF即为所求。
2. BE与BO的关系：BE=2BO，且O为线段BE的中点。
连接AO并延长至D，使OD=AO，得点A的对称点D；
连接CO并延长至F，使OF=CO，得点C的对称点F；
连接BO并延长至E，使OE=BO，得点B的对称点E；
连接D、E、F，△DEF即为所求。
2. BE与BO的关系：BE=2BO，且O为线段BE的中点。
解析
【分析】
要解决这个问题，分两部分进行：一是绘制中心对称图形，二是推导BE与BO的关系。
1. 绘制对称图形：根据中心对称的性质，成中心对称的两点，其连线经过对称中心，且两点到对称中心的距离相等。所以我们需要分别延长AO、BO、CO，在延长线上截取与原线段长度相等的线段，得到A、B、C的对称点D、E、F，再连接各点即可得到对称的△DEF。
2. 推导线段关系：根据中心对称的性质，点B和E关于O对称，所以O是BE的中点，即OE=BO，由此可得出BE与BO的数量和位置关系。
【解析】
画图步骤：
1. 连接AO并延长至点D，使$OD = AO$，得到点A的对称点D；
2. 连接CO并延长至点F，使$OF = CO$，得到点C的对称点F；
3. 连接BO并延长至点E，使$OE = BO$，得到点B的对称点E；
4. 顺次连接D、E、F，$△ DEF$即为所求的与$△ ABC$关于点O成中心对称的三角形。
BE与BO的关系：
根据中心对称的性质，点B与点E关于点O成中心对称，因此线段BE经过点O，且$OE = BO$，故$BE = 2BO$，同时点O是线段BE的中点。
【答案】
画图步骤见上述解析；BE与BO的关系为：$BE=2BO$，且点O是线段BE的中点。
【知识点】
中心对称图形画法，中心对称的性质
【点评】
本题主要考查中心对称图形的绘制及中心对称性质的应用，解题的关键是熟练掌握“成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分”这一核心性质，通过找对称点完成图形绘制，再利用性质推导线段间的关系。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，分两部分进行：一是绘制中心对称图形，二是推导BE与BO的关系。
1. 绘制对称图形：根据中心对称的性质，成中心对称的两点，其连线经过对称中心，且两点到对称中心的距离相等。所以我们需要分别延长AO、BO、CO，在延长线上截取与原线段长度相等的线段，得到A、B、C的对称点D、E、F，再连接各点即可得到对称的△DEF。
2. 推导线段关系：根据中心对称的性质，点B和E关于O对称，所以O是BE的中点，即OE=BO，由此可得出BE与BO的数量和位置关系。
【解析】
画图步骤：
1. 连接AO并延长至点D，使$OD = AO$，得到点A的对称点D；
2. 连接CO并延长至点F，使$OF = CO$，得到点C的对称点F；
3. 连接BO并延长至点E，使$OE = BO$，得到点B的对称点E；
4. 顺次连接D、E、F，$△ DEF$即为所求的与$△ ABC$关于点O成中心对称的三角形。
BE与BO的关系：
根据中心对称的性质，点B与点E关于点O成中心对称，因此线段BE经过点O，且$OE = BO$，故$BE = 2BO$，同时点O是线段BE的中点。
【答案】
画图步骤见上述解析；BE与BO的关系为：$BE=2BO$，且点O是线段BE的中点。
【知识点】
中心对称图形画法，中心对称的性质
【点评】
本题主要考查中心对称图形的绘制及中心对称性质的应用，解题的关键是熟练掌握“成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分”这一核心性质，通过找对称点完成图形绘制，再利用性质推导线段间的关系。
【难度系数】
0.7
7. 如图，在方格纸中，△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂是两个形状、大小都一样的三角形.
(1)△A₁B₁C₁经过怎样的平移、旋转变换后，可以与△A₂B₂C₂重合？
(2)△A₁B₁C₁经过怎样的变换后，可以与△A₂B₂C₂成中心对称？画出变换后的三角形，并标出对称中心.
(1)△A₁B₁C₁经过怎样的平移、旋转变换后，可以与△A₂B₂C₂重合？
(2)△A₁B₁C₁经过怎样的变换后，可以与△A₂B₂C₂成中心对称？画出变换后的三角形，并标出对称中心.
答案
(1)将△A₁B₁C₁先向右平移6个单位长度，再绕点C₁（经过平移后对应的点）顺时针旋转90°（或先绕点C₁顺时针旋转90°，再向右平移6个单位长度），可以与△A₂B₂C₂重合。
(2)将△A₁B₁C₁绕点P(9,3)旋转180°，可以与△A₂B₂C₂成中心对称。
变换后的三角形与△A₂B₂C₂重合（或画出与△A₂B₂C₂关于点P(9,3)成中心对称的三角形），对称中心为点P(9,3)。
(2)将△A₁B₁C₁绕点P(9,3)旋转180°，可以与△A₂B₂C₂成中心对称。
变换后的三角形与△A₂B₂C₂重合（或画出与△A₂B₂C₂关于点P(9,3)成中心对称的三角形），对称中心为点P(9,3)。
解析
【分析】
(1) 要使△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂重合，先观察两个三角形的位置差异：水平方向上△A₂B₂C₂在△A₁B₁C₁右侧，可先通过平移消除水平距离，再通过旋转调整角度；也可先旋转调整形状方向，再平移到目标位置，需确定平移的单位长度、旋转的中心与角度。
(2) 根据中心对称的定义，两个图形成中心对称意味着其中一个图形绕某点旋转180°后能与另一个图形对应。因此需找到合适的旋转中心，将△A₁B₁C₁绕该点旋转180°，即可与△A₂B₂C₂成中心对称，再确定对称中心并画出图形。
【解析】
(1) 方法一：将△A₁B₁C₁先向右平移6个单位长度，此时△A₁B₁C₁的顶点C₁平移到与△A₂B₂C₂的顶点C₂同一位置，再绕该点（平移后的C₁，即C₂）顺时针旋转90°，即可与△A₂B₂C₂重合。
方法二：先绕点C₁顺时针旋转90°，调整△A₁B₁C₁的方向，再向右平移6个单位长度，也可与△A₂B₂C₂重合。
(2) 连接A₁A₂、B₁B₂，两条线段的交点为点P(9,3)，将△A₁B₁C₁绕点P旋转180°，得到的三角形与△A₂B₂C₂成中心对称，对称中心为点P(9,3)（画图略，变换后的三角形与△A₂B₂C₂关于点P中心对称）。
【答案】
(1) 将△A₁B₁C₁先向右平移6个单位长度，再绕点C₁（经过平移后对应的点）顺时针旋转90°（或先绕点C₁顺时针旋转90°，再向右平移6个单位长度），可以与△A₂B₂C₂重合。
(2) 将△A₁B₁C₁绕点P(9,3)旋转180°，可以与△A₂B₂C₂成中心对称；变换后的三角形与△A₂B₂C₂关于点P(9,3)成中心对称（画图略），对称中心为点P(9,3)。
【知识点】
平移变换、旋转变换、中心对称
【点评】
本题考查图形平移、旋转及中心对称的综合应用，需结合方格纸的网格特点，准确分析图形位置关系，确定变换参数，锻炼空间想象能力与图形变换的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要使△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂重合，先观察两个三角形的位置差异：水平方向上△A₂B₂C₂在△A₁B₁C₁右侧，可先通过平移消除水平距离，再通过旋转调整角度；也可先旋转调整形状方向，再平移到目标位置，需确定平移的单位长度、旋转的中心与角度。
(2) 根据中心对称的定义，两个图形成中心对称意味着其中一个图形绕某点旋转180°后能与另一个图形对应。因此需找到合适的旋转中心，将△A₁B₁C₁绕该点旋转180°，即可与△A₂B₂C₂成中心对称，再确定对称中心并画出图形。
【解析】
(1) 方法一：将△A₁B₁C₁先向右平移6个单位长度，此时△A₁B₁C₁的顶点C₁平移到与△A₂B₂C₂的顶点C₂同一位置，再绕该点（平移后的C₁，即C₂）顺时针旋转90°，即可与△A₂B₂C₂重合。
方法二：先绕点C₁顺时针旋转90°，调整△A₁B₁C₁的方向，再向右平移6个单位长度，也可与△A₂B₂C₂重合。
(2) 连接A₁A₂、B₁B₂，两条线段的交点为点P(9,3)，将△A₁B₁C₁绕点P旋转180°，得到的三角形与△A₂B₂C₂成中心对称，对称中心为点P(9,3)（画图略，变换后的三角形与△A₂B₂C₂关于点P中心对称）。
【答案】
(1) 将△A₁B₁C₁先向右平移6个单位长度，再绕点C₁（经过平移后对应的点）顺时针旋转90°（或先绕点C₁顺时针旋转90°，再向右平移6个单位长度），可以与△A₂B₂C₂重合。
(2) 将△A₁B₁C₁绕点P(9,3)旋转180°，可以与△A₂B₂C₂成中心对称；变换后的三角形与△A₂B₂C₂关于点P(9,3)成中心对称（画图略），对称中心为点P(9,3)。
【知识点】
平移变换、旋转变换、中心对称
【点评】
本题考查图形平移、旋转及中心对称的综合应用，需结合方格纸的网格特点，准确分析图形位置关系，确定变换参数，锻炼空间想象能力与图形变换的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6
