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例 1 如图 9 - 22，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在网格点上.
(1) 以点 A 为中心将△ABC 旋转 180°，得到△AB₁C₁，画出△AB₁C₁；
(2) 将△ABC 向右平移 7 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到△A₂B₂C₂，画出△A₂B₂C₂；
(3) 连接 B₁B₂，利用网格作出线段 B₁B₂ 的中点 P(保留作图痕迹).
(1) 以点 A 为中心将△ABC 旋转 180°，得到△AB₁C₁，画出△AB₁C₁；
(2) 将△ABC 向右平移 7 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到△A₂B₂C₂，画出△A₂B₂C₂；
(3) 连接 B₁B₂，利用网格作出线段 B₁B₂ 的中点 P(保留作图痕迹).
答案
(1) 以点 $A$ 为中心将 $ △ ABC $ 旋转 180°：
将点 $B$ 和点 $C$ 绕点 $A$ 旋转 180°，即找到它们关于点 $A$ 的对称点 $B_1$ 和 $C_1$。
点 $B$ 的坐标为 $(-2, 0)$，关于点 $A(0, 2)$ 的对称点 $B_1$ 的坐标为 $ (2, 4) $。
点 $C$ 的坐标为 $(-1, -1)$，关于点 $A(0, 2)$ 的对称点 $C_1$ 的坐标为 $ (1, 5) $。
画出 $ △ AB_1C_1 $。
(2) 将 $ △ ABC $ 向右平移 7 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度：
点 $A$ 的坐标为 $ (0, 2) $，平移后 $A_2$ 的坐标为 $ (7, 3) $。
点 $B$ 的坐标为 $ (-2, 0) $，平移后 $B_2$ 的坐标为 $ (5, 1) $。
点 $C$ 的坐标为 $ (-1, -1) $，平移后 $C_2$ 的坐标为 $ (6, 0) $。
画出 $ △ A_2B_2C_2 $。
(3) 连接 $B_1$ 和 $B_2$，并找到线段 $B_1B_2$ 的中点 $P$：
$B_1$ 的坐标为 $ (2, 4) $，$B_2$ 的坐标为 $ (5, 1) $。
中点 $P$ 的坐标为 $ ( \frac{2+5}{2}, \frac{4+1}{2} ) = ( \frac{7}{2}, \frac{5}{2} ) = (3.5, 2.5) $。
在网格中标出点 $P$。
将点 $B$ 和点 $C$ 绕点 $A$ 旋转 180°，即找到它们关于点 $A$ 的对称点 $B_1$ 和 $C_1$。
点 $B$ 的坐标为 $(-2, 0)$，关于点 $A(0, 2)$ 的对称点 $B_1$ 的坐标为 $ (2, 4) $。
点 $C$ 的坐标为 $(-1, -1)$，关于点 $A(0, 2)$ 的对称点 $C_1$ 的坐标为 $ (1, 5) $。
画出 $ △ AB_1C_1 $。
(2) 将 $ △ ABC $ 向右平移 7 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度：
点 $A$ 的坐标为 $ (0, 2) $，平移后 $A_2$ 的坐标为 $ (7, 3) $。
点 $B$ 的坐标为 $ (-2, 0) $，平移后 $B_2$ 的坐标为 $ (5, 1) $。
点 $C$ 的坐标为 $ (-1, -1) $，平移后 $C_2$ 的坐标为 $ (6, 0) $。
画出 $ △ A_2B_2C_2 $。
(3) 连接 $B_1$ 和 $B_2$，并找到线段 $B_1B_2$ 的中点 $P$：
$B_1$ 的坐标为 $ (2, 4) $，$B_2$ 的坐标为 $ (5, 1) $。
中点 $P$ 的坐标为 $ ( \frac{2+5}{2}, \frac{4+1}{2} ) = ( \frac{7}{2}, \frac{5}{2} ) = (3.5, 2.5) $。
在网格中标出点 $P$。
解析
【分析】
这道题是网格中的图形变换问题，我们可以通过坐标法来逐步解决：
1. 对于旋转180°的问题，旋转180°后得到的点与原点点关于旋转中心对称，先确定△ABC各顶点坐标，再利用关于点对称的坐标规律找到B₁、C₁的坐标，进而画出△AB₁C₁；
2. 图形平移时，每个顶点的平移规律一致，向右平移横坐标增加，向上平移纵坐标增加，根据这个规律计算出A₂、B₂、C₂的坐标，再画出△A₂B₂C₂；
3. 找线段B₁B₂的中点，可利用中点坐标公式计算出中点P的坐标，再在网格中标出即可。
【解析】
设网格左下角为坐标原点，每个小正方形边长为1，确定各点坐标：$A(0,2)$，$B(-2,0)$，$C(-1,-1)$。
(1) 作$△ AB_1C_1$：
根据关于点$A$对称的坐标规律：若点$(x,y)$关于点$(a,b)$对称，则对称点坐标为$(2a-x,2b-y)$。
点$B(-2,0)$关于$A(0,2)$的对称点$B_1$的坐标为$(2×0 - (-2), 2×2 - 0)=(2,4)$；
点$C(-1,-1)$关于$A(0,2)$的对称点$C_1$的坐标为$(2×0 - (-1), 2×2 - (-1))=(1,5)$；
连接$AB_1$、$AC_1$、$B_1C_1$，得到$△ AB_1C_1$。
(2) 作$△ A_2B_2C_2$：
向右平移7个单位，横坐标加7；向上平移1个单位，纵坐标加1。
$A(0,2)$平移后$A_2$的坐标为$(0+7,2+1)=(7,3)$；
$B(-2,0)$平移后$B_2$的坐标为$(-2+7,0+1)=(5,1)$；
$C(-1,-1)$平移后$C_2$的坐标为$(-1+7,-1+1)=(6,0)$；
连接$A_2B_2$、$A_2C_2$、$B_2C_2$，得到$△ A_2B_2C_2$。
(3) 确定线段$B_1B_2$的中点$P$：
已知$B_1(2,4)$，$B_2(5,1)$，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。
中点$P$的坐标为$(\frac{2+5}{2},\frac{4+1}{2})=(3.5,2.5)$；
在网格中找到对应位置并标记点$P$，保留作图痕迹。
【答案】
(1) 画出的$△ AB_1C_1$如解析步骤所示；
(2) 画出的$△ A_2B_2C_2$如解析步骤所示；
(3) 线段$B_1B_2$的中点$P$坐标为$(3.5,2.5)$，已在网格中标出。
【知识点】
中心对称作图、图形平移作图、线段中点确定
【点评】
本题考查网格中的图形变换，核心是利用坐标法解决图形的旋转、平移问题，以及线段中点的确定。解题时要准确掌握对称点坐标规律、平移坐标变化规律和中点坐标公式，结合网格特点作图，注意保留作图痕迹。
【难度系数】
0.7
这道题是网格中的图形变换问题，我们可以通过坐标法来逐步解决：
1. 对于旋转180°的问题，旋转180°后得到的点与原点点关于旋转中心对称，先确定△ABC各顶点坐标，再利用关于点对称的坐标规律找到B₁、C₁的坐标，进而画出△AB₁C₁；
2. 图形平移时，每个顶点的平移规律一致，向右平移横坐标增加，向上平移纵坐标增加，根据这个规律计算出A₂、B₂、C₂的坐标，再画出△A₂B₂C₂；
3. 找线段B₁B₂的中点，可利用中点坐标公式计算出中点P的坐标，再在网格中标出即可。
【解析】
设网格左下角为坐标原点，每个小正方形边长为1，确定各点坐标：$A(0,2)$，$B(-2,0)$，$C(-1,-1)$。
(1) 作$△ AB_1C_1$：
根据关于点$A$对称的坐标规律：若点$(x,y)$关于点$(a,b)$对称，则对称点坐标为$(2a-x,2b-y)$。
点$B(-2,0)$关于$A(0,2)$的对称点$B_1$的坐标为$(2×0 - (-2), 2×2 - 0)=(2,4)$；
点$C(-1,-1)$关于$A(0,2)$的对称点$C_1$的坐标为$(2×0 - (-1), 2×2 - (-1))=(1,5)$；
连接$AB_1$、$AC_1$、$B_1C_1$，得到$△ AB_1C_1$。
(2) 作$△ A_2B_2C_2$：
向右平移7个单位，横坐标加7；向上平移1个单位，纵坐标加1。
$A(0,2)$平移后$A_2$的坐标为$(0+7,2+1)=(7,3)$；
$B(-2,0)$平移后$B_2$的坐标为$(-2+7,0+1)=(5,1)$；
$C(-1,-1)$平移后$C_2$的坐标为$(-1+7,-1+1)=(6,0)$；
连接$A_2B_2$、$A_2C_2$、$B_2C_2$，得到$△ A_2B_2C_2$。
(3) 确定线段$B_1B_2$的中点$P$：
已知$B_1(2,4)$，$B_2(5,1)$，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。
中点$P$的坐标为$(\frac{2+5}{2},\frac{4+1}{2})=(3.5,2.5)$；
在网格中找到对应位置并标记点$P$，保留作图痕迹。
【答案】
(1) 画出的$△ AB_1C_1$如解析步骤所示；
(2) 画出的$△ A_2B_2C_2$如解析步骤所示；
(3) 线段$B_1B_2$的中点$P$坐标为$(3.5,2.5)$，已在网格中标出。
【知识点】
中心对称作图、图形平移作图、线段中点确定
【点评】
本题考查网格中的图形变换，核心是利用坐标法解决图形的旋转、平移问题，以及线段中点的确定。解题时要准确掌握对称点坐标规律、平移坐标变化规律和中点坐标公式，结合网格特点作图，注意保留作图痕迹。
【难度系数】
0.7
例 2 如图 9 - 23，方格纸中有两个形状、大小都相同的三角形，通过怎样的图形变换可以使其中一个三角形与另一个三角形重合？请描述图形变换的过程.
答案
将左边的三角形先向右平移4格，再向下平移1格，然后绕平移后三角形的右下角顶点顺时针旋转90度，可与右边三角形重合。
解析
【分析】
要使两个形状、大小相同的三角形重合，需结合平移与旋转变换。首先观察两个三角形对应顶点的位置关系，先通过平移将左边三角形移动到与右边三角形位置相近的位置，再通过旋转让图形完全重合。先确定平移的方向和格数，再确定旋转的中心、方向与角度，即可完成重合操作。
【解析】
1. 平移操作：将左边的三角形先向右平移4格，再向下平移1格，此时该三角形的右下角顶点与右边三角形的左上角顶点重合；
2. 旋转操作：绕平移后三角形的右下角顶点（即上述重合的顶点）顺时针旋转90°，此时左边的三角形与右边的三角形完全重合。
【答案】
将左边的三角形先向右平移4格，再向下平移1格，然后绕平移后三角形的右下角顶点顺时针旋转90度，可与右边三角形重合。（答案不唯一，也可采用先旋转再平移的方式，如先绕左边三角形右下角顶点顺时针旋转90°，再向右平移4格、向下平移1格，也能使两三角形重合）
【知识点】
图形平移变换，图形旋转变换
【点评】
本题考查平移与旋转的综合应用，解决此类问题需先观察图形对应元素的位置，明确平移的方向、格数，旋转的中心、方向和角度，灵活运用平移、旋转的性质即可完成图形重合的变换。
【难度系数】
0.6
要使两个形状、大小相同的三角形重合，需结合平移与旋转变换。首先观察两个三角形对应顶点的位置关系，先通过平移将左边三角形移动到与右边三角形位置相近的位置，再通过旋转让图形完全重合。先确定平移的方向和格数，再确定旋转的中心、方向与角度，即可完成重合操作。
【解析】
1. 平移操作：将左边的三角形先向右平移4格，再向下平移1格，此时该三角形的右下角顶点与右边三角形的左上角顶点重合；
2. 旋转操作：绕平移后三角形的右下角顶点（即上述重合的顶点）顺时针旋转90°，此时左边的三角形与右边的三角形完全重合。
【答案】
将左边的三角形先向右平移4格，再向下平移1格，然后绕平移后三角形的右下角顶点顺时针旋转90度，可与右边三角形重合。（答案不唯一，也可采用先旋转再平移的方式，如先绕左边三角形右下角顶点顺时针旋转90°，再向右平移4格、向下平移1格，也能使两三角形重合）
【知识点】
图形平移变换，图形旋转变换
【点评】
本题考查平移与旋转的综合应用，解决此类问题需先观察图形对应元素的位置，明确平移的方向、格数，旋转的中心、方向和角度，灵活运用平移、旋转的性质即可完成图形重合的变换。
【难度系数】
0.6
1. 选择题：
(1) 下列四个道路交通标志中属于轴对称图形的是().
(2) 如图，可由△ABC 平移得到的三角形有().
A. 4 个
B. 5 个
C. 6 个
D. 7 个
(3) 若两个图形关于某直线对称，则对称点一定在().
A. 直线的两旁
B. 直线的同旁
C. 直线上
D. 直线两旁或直线上
(4) 如果把一个图形绕某一点旋转一定角度后，能与原来的图形重合，那么这个图形叫作旋转对称图形. 如图是一个旋转对称图形，以 O 为旋转中心，下列旋转角度中，能使旋转后的图形与原图形重合的是().
A. 60°
B. 90°
C. 120°
D. 180°
(1) 下列四个道路交通标志中属于轴对称图形的是().
(2) 如图，可由△ABC 平移得到的三角形有().
A. 4 个
B. 5 个
C. 6 个
D. 7 个
(3) 若两个图形关于某直线对称，则对称点一定在().
A. 直线的两旁
B. 直线的同旁
C. 直线上
D. 直线两旁或直线上
(4) 如果把一个图形绕某一点旋转一定角度后，能与原来的图形重合，那么这个图形叫作旋转对称图形. 如图是一个旋转对称图形，以 O 为旋转中心，下列旋转角度中，能使旋转后的图形与原图形重合的是().
A. 60°
B. 90°
C. 120°
D. 180°
答案
C A D C
解析
(1) 轴对称图形沿对称轴折叠后两旁部分重合，选项C图形左右对称，符合轴对称定义。
(2) 平移不改变图形形状和方向，图中与△ABC形状、大小相同且通过平移得到的三角形有4个。
(3) 对称点可在对称轴上（自身对称）或两旁（对应对称），故在直线两旁或直线上。
(4) 图形为旋转对称图形，以O为中心，观察图形结构，旋转120°后与原图重合。
(2) 平移不改变图形形状和方向，图中与△ABC形状、大小相同且通过平移得到的三角形有4个。
(3) 对称点可在对称轴上（自身对称）或两旁（对应对称），故在直线两旁或直线上。
(4) 图形为旋转对称图形，以O为中心，观察图形结构，旋转120°后与原图重合。
