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1. 某市居民生活用水实行阶梯式计量水价,实施细则如下表所示：
|分档水量|年用水量|水价(元/t)|
|第 1 级|180 t 以下(含 180 t)|5|
|第 2 级|180~260 t(含 260 t)|7|
|第 3 级|260 t 以上|9|
例：若某用户 2024 年的用水量为 270 t,按 3 级计算则应缴水费为 $ 180×5+(260 - 180)×7+(270 - 260)×9 = 1550 $(元).
(1)如果小丽家 2024 年的用水量为 200 t,那么小丽家全年需缴水费______元；
(2)如果小明家 2024 年的用水量为 $ a $ t $ (a＞260) $,那么小明家全年应缴水费______元(用含 $ a $ 的代数式表示,并化简)；
(3)如果全年缴水费 2000 元,则该年的用水量为多少吨?
|分档水量|年用水量|水价(元/t)|
|第 1 级|180 t 以下(含 180 t)|5|
|第 2 级|180~260 t(含 260 t)|7|
|第 3 级|260 t 以上|9|
例：若某用户 2024 年的用水量为 270 t,按 3 级计算则应缴水费为 $ 180×5+(260 - 180)×7+(270 - 260)×9 = 1550 $(元).
(1)如果小丽家 2024 年的用水量为 200 t,那么小丽家全年需缴水费______元；
(2)如果小明家 2024 年的用水量为 $ a $ t $ (a＞260) $,那么小明家全年应缴水费______元(用含 $ a $ 的代数式表示,并化简)；
(3)如果全年缴水费 2000 元,则该年的用水量为多少吨?
答案
1.解:
(1)1 040
(2)(9a-880)
(3)因为用水量为260 t,需缴水费180×5+80×7=1 460(元),
所以全年缴水费2 000元,用水量大于260 t.
设该年的用水量为x t.
根据题意,可得9x-880=2 000,
解得x=320,
所以该年的用水量为320 t.
(1)1 040
(2)(9a-880)
(3)因为用水量为260 t,需缴水费180×5+80×7=1 460(元),
所以全年缴水费2 000元,用水量大于260 t.
设该年的用水量为x t.
根据题意,可得9x-880=2 000,
解得x=320,
所以该年的用水量为320 t.
解析
【分析】
本题是阶梯水价的分段计费问题，解题核心是先判断用水量所属的收费档位，再按对应档位的水价分段计算费用。①第(1)问：先判断200 t属于第2级水量，因此水费分为两部分计算：180 t按5元/t收费，超出180 t的部分按7元/t收费，求和即可。②第(2)问：a＞260，属于第3级水量，水费分三部分计算：180 t按5元/t，180~260 t的80 t按7元/t，超出260 t的部分按9元/t，列出式子后化简即可。③第(3)问：先计算260 t的水费，和2000元比较判断用水量所属档位，发现超过260 t，因此用第(2)问的代数式列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 小丽家用水量200 t，属于第2级水量：
应缴水费 = $180×5 + (200-180)×7 = 900 + 140 = 1040$（元）
(2) 小明家用水量$a\ \mathrm{t}\ (a＞260)$，属于第3级水量：
应缴水费 = $180×5 + (260-180)×7 + (a-260)×9$
$= 900 + 560 + 9a - 2340$
$= 9a - 880$（元）
(3) 先计算用水量为260 t时的水费：
$180×5 + (260-180)×7 = 900 + 560 = 1460$（元）
∵$2000＞1460$，
∴该年用水量超过260 t。
设该年用水量为$x\ \mathrm{t}$，根据题意列方程：
$9x - 880 = 2000$
解得：$x = 320$
即该年用水量为320 t。
【答案】
(1) $\boxed{1040}$
(2) $\boxed{(9a-880)}$
(3) $\boxed{320\ \mathrm{t}}$
【知识点】
分段计费问题，列代数式，一元一次方程的应用
【点评】
本题是生活中常见的阶梯收费类应用题，解题关键是理清不同档位的收费规则，先判断用水量所属档位再分段计算费用，第三问需先通过临界值判断档位后再列方程求解，贴合生活实际，主要考查分段计算的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
本题是阶梯水价的分段计费问题，解题核心是先判断用水量所属的收费档位，再按对应档位的水价分段计算费用。①第(1)问：先判断200 t属于第2级水量，因此水费分为两部分计算：180 t按5元/t收费，超出180 t的部分按7元/t收费，求和即可。②第(2)问：a＞260，属于第3级水量，水费分三部分计算：180 t按5元/t，180~260 t的80 t按7元/t，超出260 t的部分按9元/t，列出式子后化简即可。③第(3)问：先计算260 t的水费，和2000元比较判断用水量所属档位，发现超过260 t，因此用第(2)问的代数式列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 小丽家用水量200 t，属于第2级水量：
应缴水费 = $180×5 + (200-180)×7 = 900 + 140 = 1040$（元）
(2) 小明家用水量$a\ \mathrm{t}\ (a＞260)$，属于第3级水量：
应缴水费 = $180×5 + (260-180)×7 + (a-260)×9$
$= 900 + 560 + 9a - 2340$
$= 9a - 880$（元）
(3) 先计算用水量为260 t时的水费：
$180×5 + (260-180)×7 = 900 + 560 = 1460$（元）
∵$2000＞1460$，
∴该年用水量超过260 t。
设该年用水量为$x\ \mathrm{t}$，根据题意列方程：
$9x - 880 = 2000$
解得：$x = 320$
即该年用水量为320 t。
【答案】
(1) $\boxed{1040}$
(2) $\boxed{(9a-880)}$
(3) $\boxed{320\ \mathrm{t}}$
【知识点】
分段计费问题，列代数式，一元一次方程的应用
【点评】
本题是生活中常见的阶梯收费类应用题，解题关键是理清不同档位的收费规则，先判断用水量所属档位再分段计算费用，第三问需先通过临界值判断档位后再列方程求解，贴合生活实际，主要考查分段计算的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
2. (跨学科—物理)阅读材料,并解答有关问题.
公元前 3 世纪,古希腊数学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体到支点的距离与其质量成反比,则杠杆平衡. 后来人们把它归纳为“杠杆原理”,通俗地说,杠杆原理为阻力×阻力臂= 动力×动力臂.[如图(1)所示]
[问题解决]
若工人师傅欲用撬棍撬动一块大石头[如图(2)所示],已知阻力和阻力臂不变,分别为 1500 N 和 0.4 m.
(1)动力 $ F $(N)与动力臂 $ l $(m)有怎样的关系？当动力臂为 1.5 m 时,撬动石头需要多大的力?
(2)若想使动力 $ F $(N)等于 200 N,则动力臂要加长多少?
[数学思考]
(3)请用数学知识解释：我们使用撬棍,当阻力与阻力臂一定时,为什么动力臂越长越省力?
公元前 3 世纪,古希腊数学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体到支点的距离与其质量成反比,则杠杆平衡. 后来人们把它归纳为“杠杆原理”,通俗地说,杠杆原理为阻力×阻力臂= 动力×动力臂.[如图(1)所示]
[问题解决]
若工人师傅欲用撬棍撬动一块大石头[如图(2)所示],已知阻力和阻力臂不变,分别为 1500 N 和 0.4 m.
(1)动力 $ F $(N)与动力臂 $ l $(m)有怎样的关系？当动力臂为 1.5 m 时,撬动石头需要多大的力?
(2)若想使动力 $ F $(N)等于 200 N,则动力臂要加长多少?
[数学思考]
(3)请用数学知识解释：我们使用撬棍,当阻力与阻力臂一定时,为什么动力臂越长越省力?
答案
2.解:
(1)根据题意,得Fl=1 500×0.4,
所以F=$\frac{600}{l}$,
当l=1.5 m时,F=$\frac{600}{1.5}$=400(N),
因此,撬动石头需要400 N的力.
(2)设动力臂要加长x m,则
600=200(1.5+x),
解得x=1.5.
答:动力臂要加长1.5 m.
(3)因为撬棍工作原理遵循“杠杆定律”,当阻力与阻力臂一定时,其乘积为常数,设其为k,则动力F与动力臂l的关系式为F=$\frac{k}{l}$,根据反比例关系的性质可知,动力F随动力臂l的增大而减小,所以动力臂越长越省力.
(1)根据题意,得Fl=1 500×0.4,
所以F=$\frac{600}{l}$,
当l=1.5 m时,F=$\frac{600}{1.5}$=400(N),
因此,撬动石头需要400 N的力.
(2)设动力臂要加长x m,则
600=200(1.5+x),
解得x=1.5.
答:动力臂要加长1.5 m.
(3)因为撬棍工作原理遵循“杠杆定律”,当阻力与阻力臂一定时,其乘积为常数,设其为k,则动力F与动力臂l的关系式为F=$\frac{k}{l}$,根据反比例关系的性质可知,动力F随动力臂l的增大而减小,所以动力臂越长越省力.
解析
【分析】
本题结合物理杠杆原理考查数学知识的实际应用，解题思路如下：
1. 第(1)问：先依据“阻力×阻力臂=动力×动力臂”的杠杆原理，计算已知阻力和阻力臂的固定乘积，得到动力F和动力臂l的关系；再将$l=1.5\mathrm{m}$代入关系表达式，即可求出对应动力大小。
2. 第(2)问：设动力臂加长$x\mathrm{m}$，此时总动力臂为原有1.5m与$x$的和，将$F=200\mathrm{N}$代入杠杆原理等式，列一元一次方程求解即可得到加长的长度。
3. 第(3)问：阻力和阻力臂固定时，两者乘积为定值，因此动力F与动力臂l成反比例关系，结合反比例的性质：正数定值下，自变量越大，函数值越小，即可解释动力臂越长越省力的原理。
【解析】
(1) 根据杠杆原理代入已知条件：
$Fl=1500 × 0.4 = 600$
因此动力F与动力臂l的关系为$F=\frac{600}{l}$。
当$l=1.5\mathrm{m}$时，代入得：
$F=\frac{600}{1.5}=400(\mathrm{N})$
(2) 设动力臂要加长$x\mathrm{m}$，此时总动力臂为$(1.5+x)\mathrm{m}$，代入$F=200\mathrm{N}$得：
$200(1.5+x)=600$
化简得$1.5+x=3$，解得$x=1.5$
(3) 当阻力与阻力臂一定时，设两者乘积为常数$k(k＞0)$，则动力和动力臂的关系为$F=\frac{k}{l}$，即F与l成反比例关系。根据反比例的性质，$k＞0$时，l越大，F的值越小，因此动力臂越长，所需动力越小，越省力。
【答案】
(1) 动力$F$与动力臂$l$的关系为$F=\frac{600}{l}$，动力臂为1.5m时，撬动石头需要400N的力；
(2) 动力臂要加长1.5m；
(3) 阻力和阻力臂一定时，动力与动力臂成反比例关系，动力臂越长动力越小，因此越省力。
【知识点】
反比例关系应用，一元一次方程求解，杠杆原理应用
【点评】
本题为跨学科融合题型，将物理常识与数学的反比例关系、一元一次方程知识结合，贴近生活实际，能有效考查学生运用所学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题结合物理杠杆原理考查数学知识的实际应用，解题思路如下：
1. 第(1)问：先依据“阻力×阻力臂=动力×动力臂”的杠杆原理，计算已知阻力和阻力臂的固定乘积，得到动力F和动力臂l的关系；再将$l=1.5\mathrm{m}$代入关系表达式，即可求出对应动力大小。
2. 第(2)问：设动力臂加长$x\mathrm{m}$，此时总动力臂为原有1.5m与$x$的和，将$F=200\mathrm{N}$代入杠杆原理等式，列一元一次方程求解即可得到加长的长度。
3. 第(3)问：阻力和阻力臂固定时，两者乘积为定值，因此动力F与动力臂l成反比例关系，结合反比例的性质：正数定值下，自变量越大，函数值越小，即可解释动力臂越长越省力的原理。
【解析】
(1) 根据杠杆原理代入已知条件：
$Fl=1500 × 0.4 = 600$
因此动力F与动力臂l的关系为$F=\frac{600}{l}$。
当$l=1.5\mathrm{m}$时，代入得：
$F=\frac{600}{1.5}=400(\mathrm{N})$
(2) 设动力臂要加长$x\mathrm{m}$，此时总动力臂为$(1.5+x)\mathrm{m}$，代入$F=200\mathrm{N}$得：
$200(1.5+x)=600$
化简得$1.5+x=3$，解得$x=1.5$
(3) 当阻力与阻力臂一定时，设两者乘积为常数$k(k＞0)$，则动力和动力臂的关系为$F=\frac{k}{l}$，即F与l成反比例关系。根据反比例的性质，$k＞0$时，l越大，F的值越小，因此动力臂越长，所需动力越小，越省力。
【答案】
(1) 动力$F$与动力臂$l$的关系为$F=\frac{600}{l}$，动力臂为1.5m时，撬动石头需要400N的力；
(2) 动力臂要加长1.5m；
(3) 阻力和阻力臂一定时，动力与动力臂成反比例关系，动力臂越长动力越小，因此越省力。
【知识点】
反比例关系应用，一元一次方程求解，杠杆原理应用
【点评】
本题为跨学科融合题型，将物理常识与数学的反比例关系、一元一次方程知识结合，贴近生活实际，能有效考查学生运用所学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
