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1 判断题。(对的画“√”，错的画“×”)
(1)圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积多$\frac{2}{3}$。 ()
(2)圆柱的体积是圆锥体积的 3 倍。 ()
(3)圆锥是由一个三角形和一个圆围成的形体。 ()
(4)如果圆锥的高是圆柱的 3 倍，那么它们的体积相等。 ()
(5)一个圆锥和一个正方体的底面积相等，并且圆锥的高正好等于正方体的棱长，那么它们的体积也相等。 ()
(1)圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积多$\frac{2}{3}$。 ()
(2)圆柱的体积是圆锥体积的 3 倍。 ()
(3)圆锥是由一个三角形和一个圆围成的形体。 ()
(4)如果圆锥的高是圆柱的 3 倍，那么它们的体积相等。 ()
(5)一个圆锥和一个正方体的底面积相等，并且圆锥的高正好等于正方体的棱长，那么它们的体积也相等。 ()
答案
(1)×；(2)×；(3)×；(4)×；(5)×
解析
(1)圆柱体积为$V_{柱} = π r^2h$，圆锥体积$V_{锥} = \frac{1}{3}π r^2h$，等底等高时，圆柱体积比圆锥体积多$\frac{V_{柱}-V_{锥}}{V_{锥}}=\frac{π r^2h - \frac{1}{3}π r^2h}{\frac{1}{3}π r^2h}=2$倍，即多$200\%$，而不是$\frac{2}{3}$，所以该题错误。
(2)只有在等底等高的情况下，圆柱体积才是圆锥体积的$3$倍，该题没有提及等底等高条件，所以错误。
(3)圆锥是由一个直角三角形绕一条直角边旋转而成的立体图形，不是由一个三角形和一个圆围成的，所以该题错误。
(4)圆锥体积$V_{锥}=\frac{1}{3}Sh$（$S$是底面积，$h$是高），圆柱体积$V_{柱}=S_{柱}h_{柱}$，仅知道圆锥高是圆柱的$3$倍，但底面积关系未知，不能得出体积相等，所以该题错误。
(5)正方体体积$V_{正}=S× h$（$S$是底面积，$h$是棱长），圆锥体积$V_{锥}=\frac{1}{3}Sh$（$S$是底面积，$h$是高），当圆锥和正方体底面积相等，圆锥高等于正方体棱长时，圆锥体积是正方体体积的$\frac{1}{3}$，不相等，所以该题错误。
(2)只有在等底等高的情况下，圆柱体积才是圆锥体积的$3$倍，该题没有提及等底等高条件，所以错误。
(3)圆锥是由一个直角三角形绕一条直角边旋转而成的立体图形，不是由一个三角形和一个圆围成的，所以该题错误。
(4)圆锥体积$V_{锥}=\frac{1}{3}Sh$（$S$是底面积，$h$是高），圆柱体积$V_{柱}=S_{柱}h_{柱}$，仅知道圆锥高是圆柱的$3$倍，但底面积关系未知，不能得出体积相等，所以该题错误。
(5)正方体体积$V_{正}=S× h$（$S$是底面积，$h$是棱长），圆锥体积$V_{锥}=\frac{1}{3}Sh$（$S$是底面积，$h$是高），当圆锥和正方体底面积相等，圆锥高等于正方体棱长时，圆锥体积是正方体体积的$\frac{1}{3}$，不相等，所以该题错误。
2 求下面各圆锥的体积。
(1)底面半径是 1.5 厘米，高是 8 厘米。
(2)底面直径是 6 分米，高是 6 分米。
(3)底面周长是 12.56 分米，高是 12 分米。
(1)底面半径是 1.5 厘米，高是 8 厘米。
(2)底面直径是 6 分米，高是 6 分米。
(3)底面周长是 12.56 分米，高是 12 分米。
答案
(1)
$V = \frac{1}{3}π r^{2}h$
$=\frac{1}{3}×3.14×1.5^{2}×8$
$=\frac{1}{3}×3.14×2.25×8$
$ = 18.84$（立方厘米）
答：此圆锥体积为$18.84$立方厘米。
(2)
$r = 6÷2 = 3$（分米）
$V=\frac{1}{3}π r^{2}h$
$=\frac{1}{3}×3.14×3^{2}×6$
$=\frac{1}{3}×3.14×9×6$
$ = 56.52$（立方分米）
答：此圆锥体积为$56.52$立方分米。
(3)
$r = 12.56÷(2×3.14)$
$ = 12.56÷6.28$
$ = 2$（分米）
$V=\frac{1}{3}π r^{2}h$
$=\frac{1}{3}×3.14×2^{2}×12$
$=\frac{1}{3}×3.14×4×12$
$ = 50.24$（立方分米）
答：此圆锥体积为$50.24$立方分米。
$V = \frac{1}{3}π r^{2}h$
$=\frac{1}{3}×3.14×1.5^{2}×8$
$=\frac{1}{3}×3.14×2.25×8$
$ = 18.84$（立方厘米）
答：此圆锥体积为$18.84$立方厘米。
(2)
$r = 6÷2 = 3$（分米）
$V=\frac{1}{3}π r^{2}h$
$=\frac{1}{3}×3.14×3^{2}×6$
$=\frac{1}{3}×3.14×9×6$
$ = 56.52$（立方分米）
答：此圆锥体积为$56.52$立方分米。
(3)
$r = 12.56÷(2×3.14)$
$ = 12.56÷6.28$
$ = 2$（分米）
$V=\frac{1}{3}π r^{2}h$
$=\frac{1}{3}×3.14×2^{2}×12$
$=\frac{1}{3}×3.14×4×12$
$ = 50.24$（立方分米）
答：此圆锥体积为$50.24$立方分米。
3 一个圆锥形零件，底面积是 23 平方厘米，高是 9 厘米。这个零件的体积是多少立方厘米？
答案
圆锥体积公式：$V = \frac{1}{3}Sh$
其中$S = 23$平方厘米，$h = 9$厘米
$V = \frac{1}{3}×23×9$
$= 23×3$
$= 69$（立方厘米）
答：这个零件的体积是69立方厘米。
其中$S = 23$平方厘米，$h = 9$厘米
$V = \frac{1}{3}×23×9$
$= 23×3$
$= 69$（立方厘米）
答：这个零件的体积是69立方厘米。
4 如下图所示，等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积一共是多少立方分米？你能用简便方法计算吗？
答案
已知圆柱和圆锥等底等高，底面直径为3dm，高为15dm。
1. 计算底面半径：$ r = 3÷2 = 1.5 \, \mathrm{dm} $
2. 圆柱体积公式：$ V_{\mathrm{圆柱}} = π r^2 h $
$ V_{\mathrm{圆柱}} = 3.14 × 1.5^2 × 15 = 3.14 × 2.25 × 15 = 105.975 \, \mathrm{dm}^3 $
3. 圆锥体积公式：$ V_{\mathrm{圆锥}} = \frac{1}{3} π r^2 h $（等底等高圆锥体积是圆柱的$\frac{1}{3}$）
$ V_{\mathrm{圆锥}} = \frac{1}{3} × 105.975 = 35.325 \, \mathrm{dm}^3 $
4. 总体积：$ V_{\mathrm{总}} = V_{\mathrm{圆柱}} + V_{\mathrm{圆锥}} = 105.975 + 35.325 = 141.3 \, \mathrm{dm}^3 $
简便方法：等底等高时，总体积是圆柱体积的$1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$
$V_{\mathrm{总}} = \frac{4}{3} × 105.975 = 141.3 \, \mathrm{dm}^3$
答：它们的体积一共是141.3立方分米。
1. 计算底面半径：$ r = 3÷2 = 1.5 \, \mathrm{dm} $
2. 圆柱体积公式：$ V_{\mathrm{圆柱}} = π r^2 h $
$ V_{\mathrm{圆柱}} = 3.14 × 1.5^2 × 15 = 3.14 × 2.25 × 15 = 105.975 \, \mathrm{dm}^3 $
3. 圆锥体积公式：$ V_{\mathrm{圆锥}} = \frac{1}{3} π r^2 h $（等底等高圆锥体积是圆柱的$\frac{1}{3}$）
$ V_{\mathrm{圆锥}} = \frac{1}{3} × 105.975 = 35.325 \, \mathrm{dm}^3 $
4. 总体积：$ V_{\mathrm{总}} = V_{\mathrm{圆柱}} + V_{\mathrm{圆锥}} = 105.975 + 35.325 = 141.3 \, \mathrm{dm}^3 $
简便方法：等底等高时，总体积是圆柱体积的$1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$
$V_{\mathrm{总}} = \frac{4}{3} × 105.975 = 141.3 \, \mathrm{dm}^3$
答：它们的体积一共是141.3立方分米。
