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9. (2023·宁波)如图，点$A,B$分别在函数$y=\frac{a}{x}(a＞0)$图像的两支上（点$A$在第一象限），连接$AB$交$x$轴于点$C$. 点$D,E$在函数$y=\frac{b}{x}(b＜0,x＜0)$的图像上，$AE// x$轴，$BD// y$轴，连接$DE,BE$. 若$AC=2BC,\triangle ABE$的面积为9，四边形$ABDE$的面积为14，则$a - b$的值为________，$a$的值为________.
答案
9. 12 9
三、解答题(共55分)
答案
10. (25分)如图，在平面直角坐标系$xOy$中，一次函数$y=2x+b$的图像分别与$x$轴，$y$轴交于点$A,B$，与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图像交于点$C$，连接$OC$. 已知点$B(0,4)$，$\triangle BOC$的面积是2.
求：(1)$b,k$的值；
(2)$\triangle AOC$的面积.
求：(1)$b,k$的值；
(2)$\triangle AOC$的面积.
答案
10. 解：(1) $\because$ 一次函数 $y = 2x + b$ 的图像过点 $B(0,4)$，
$\therefore b = 4$，$\therefore$ 一次函数的表达式为 $y = 2x + 4$.
$\because OB = 4$，$\triangle BOC$ 的面积是 2，
$\therefore \frac{1}{2}OB \cdot x_{C} = 2$，即 $\frac{1}{2} \times 4 \times x_{C} = 2$，解得 $x_{C} = 1$.
把 $x = 1$ 代入 $y = 2x + 4$，得 $y = 6$，$\therefore C(1,6)$.
$\because$ 点 $C$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$ 的图像上，
$\therefore k = 1 \times 6 = 6$.
(2) 把 $y = 0$ 代入 $y = 2x + 4$，得 $2x + 4 = 0$，解得 $x = -2$，
$\therefore A(-2,0)$，
$\therefore OA = 2$，$\therefore S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2} \times 2 \times 6 = 6$.
$\therefore b = 4$，$\therefore$ 一次函数的表达式为 $y = 2x + 4$.
$\because OB = 4$，$\triangle BOC$ 的面积是 2，
$\therefore \frac{1}{2}OB \cdot x_{C} = 2$，即 $\frac{1}{2} \times 4 \times x_{C} = 2$，解得 $x_{C} = 1$.
把 $x = 1$ 代入 $y = 2x + 4$，得 $y = 6$，$\therefore C(1,6)$.
$\because$ 点 $C$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$ 的图像上，
$\therefore k = 1 \times 6 = 6$.
(2) 把 $y = 0$ 代入 $y = 2x + 4$，得 $2x + 4 = 0$，解得 $x = -2$，
$\therefore A(-2,0)$，
$\therefore OA = 2$，$\therefore S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2} \times 2 \times 6 = 6$.
11. (30分)(2023·海门期中)如图，一次函数$y=k_1x+1$的图像与反比例函数$y=\frac{k_2}{x}(k_2＞0)$的图像相交于$A,B$两点，点$C$在$x$轴正半轴上，点$D(1,-2)$，连接$OA,OD,DC,AC$，四边形$OACD$为菱形.
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)根据图像，直接写出反比例函数值大于一次函数值时$x$的取值范围；
(3)设$P$是直线$AB$上一个动点，且$S_{\triangle OAP}=\frac{1}{2}S_{菱形OACD}$，求点$P$的坐标.
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)根据图像，直接写出反比例函数值大于一次函数值时$x$的取值范围；
(3)设$P$是直线$AB$上一个动点，且$S_{\triangle OAP}=\frac{1}{2}S_{菱形OACD}$，求点$P$的坐标.
答案
11. 解：(1) 如答图，连接 $AD$，交 $x$ 轴于点 $E$.
$\because$ 四边形 $AODC$ 是菱形，
$\therefore AD \perp OC$，$AE = DE$，$EC = OE$.
$\because D(1,-2)$，
$\therefore OE = 1$，$ED = 2$，
$\therefore AE = DE = 2$，$EC = OE = 1$，
$\therefore A(1,2)$.
将 $A(1,2)$ 代入直线 $y = k_{1}x + 1$，得 $k_{1} + 1 = 2$，
解得 $k_{1} = 1$.
将 $A(1,2)$ 代入反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$，得 $2 = \frac{k_{2}}{1}$，
解得 $k_{2} = 2$.
$\therefore$ 一次函数的表达式为 $y = x + 1$，反比例函数的表达式为 $y = \frac{2}{x}$.
(2) 联立一次函数与反比例函数表达式，得 $\begin{cases}y = x + 1,\\y = \frac{2}{x},\end{cases}$
解得 $\begin{cases}x = 1,\\y = 2\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x = -2,\\y = -1,\end{cases}$
则反比例函数值大于一次函数值时，$x$ 的取值范围为 $x ＜ -2$ 或 $0 ＜ x ＜ 1$.
(3) $\because OC = 2OE = 2$，$AD = 2DE = 4$，
$\therefore S_{菱形OACD} = \frac{1}{2}OC \cdot AD = 4$.
$\because S_{\triangle OAP} = \frac{1}{2}S_{菱形OACD}$，
$\therefore S_{\triangle OAP} = 2$.
设 $P(a,a + 1)$，$AB$ 与 $y$ 轴相交于点 $F$，
则 $F(0,1)$，
$\therefore OF = 1$.
$\because S_{\triangle OAF} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$，
当点 $P$ 在点 $A$ 的左侧时，$S_{\triangle FOP} = \frac{1}{2}(-a) \cdot OF = -\frac{1}{2}a = S_{\triangle OAP} - S_{\triangle OAF} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$，
解得 $a = -3$，$a + 1 = -2$，
$\therefore P(-3,-2)$；
当点 $P$ 在点 $A$ 的右侧时，$S_{\triangle FOP} = \frac{1}{2}a \cdot OF = \frac{1}{2}a = S_{\triangle OAP} + S_{\triangle OAF} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$，
解得 $a = 5$，$a + 1 = 6$，
$\therefore P(5,6)$.
综上所述，点 $P$ 的坐标为 $(-3,-2)$ 或 $(5,6)$.
