6. 请阅读下列材料：如图1，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC = 90°$，$AB = AC$，点$D$，$E$为线段$BC$上两动点，若$∠ DAE = 45°$. 探究线段$BD$，$DE$，$EC$三条线段之间的数量关系. 小明的思路是：把$△ AEC$绕点$A$顺时针旋转$90°$，得到$△ ABE'$，连接$E'D$，使问题得到解决. 请你参考小明的思路探究并解决下列问题.
(1) 猜想$BD$，$DE$，$EC$三条线段之间存在的数量关系，直接写出你的猜想.
(2) 当动点$E$在线段$BC$上，动点$D$运动到线段$CB$的延长线上时，如图2，其他条件不变，(1) 中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.
(3) 如图3，等边三角形$ABC$中，点$D$，$E$在边$AB$上，且$∠ DCE = 30°$，请你找出一个条件，使线段$DE$，$AD$，$EB$能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数.

6.(1)解：DE² = BD² + EC²。(2)证明：DE² = BD² + EC²仍然成立。如图1，将△EAC绕点A顺时针旋转90°得到△TAB，连接DT，
∴∠ABT = ∠C = 45°，AT = AE，∠TAE = 90°。
∵∠ABC = 45°，
∴∠TBC = ∠TBD = 90°。
∵∠DAE = 45°，
∴∠DAT = ∠DAE。
∵AD = AD，
∴△DAT≌△DAE(SAS)，
∴DT = DE。
∵DT² = DB² + EC²，
∴DE² = BD² + EC²。
　　　　　　　　　　　
(3)解：当AD = BE时，线段DE，AD，EB能构成一个等腰三角形。如图2，与(2)类似，以CE为一边，作∠ECF = ∠ECB，在CF上截取CF = CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA。
∴AD = DF，EF = BE，
∴∠DFE = ∠1 + ∠2 = ∠A + ∠B = 120°。若使△DFE为等腰三角形，只需DF = EF，即AD = BE，
∴当AD = BE时，线段DE，AD，EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°。
　　　　　　　　　　　　　　　

7. (2025·连云港) 如图，长为$3\ \mathrm{m}$的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为$1.8\ \mathrm{m}$，则梯子顶端的高度$h$为$\mathrm{m}$.

7.2.4

【解析】
根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
在本题中，梯子、墙与地面构成直角三角形，梯子长度为斜边$c = 3m$，梯子底端离墙脚线的距离为一条直角边$a = 1.8m$，梯子顶端的高度$h$为另一条直角边$b$。
则$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{3^{2}-1.8^{2}}=\sqrt{9 - 3.24}=\sqrt{5.76}=2.4(m)$。
【答案】
$2.4$
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题考查勾股定理在实际生活中的应用，通过构建直角三角形模型，利用勾股定理求解未知边长度。
【难度系数】
$0.6$

8. (2025·扬州) 清代数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”. 法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论数领域的贡献. 由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41. 根据上述规律，写出第五组勾股数为.

8.11，60，61

【解析】
观察这几组勾股数：
- ①$3$，$4$，$5$：$3 = 2×1 + 1$，$4 = 2×1×(1 + 1)$，$5 = 2×1×(1 + 1)+1$；
- ②$5$，$12$，$13$：$5 = 2×2 + 1$，$12 = 2×2×(2 + 1)$，$13 = 2×2×(2 + 1)+1$；
- ③$7$，$24$，$25$：$7 = 2×3 + 1$，$24 = 2×3×(3 + 1)$，$25 = 2×3×(3 + 1)+1$；
- ④$9$，$40$，$41$：$9 = 2×4 + 1$，$40 = 2×4×(4 + 1)$，$41 = 2×4×(4 + 1)+1$。
则第五组勾股数中，第一个数为$2×5 + 1 = 11$；
第二个数为$2×5×(5 + 1)=60$；
第三个数为$2×5×(5 + 1)+1 = 61$。
【答案】
$11$，$60$，$61$
【知识点】
勾股数、数字规律、数学推理
【点评】
本题通过对已知勾股数规律的观察与总结，考查学生对数字规律的探索和运用能力，体现了数学中的归纳推理思想。
【难度系数】
$0.6$