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【例 3】如图，在 Rt△ABC 中，分别以这个三角形的三边为边向外作正方形，面积分别记为 $S_1$，$S_2$，$S_3$。若 $S_3 + S_2 - S_1 = 18$，则图中阴影部分的面积为(
A.6
B.$\frac{9}{2}$
C.5
D.$\frac{7}{2}$
B
)A.6
B.$\frac{9}{2}$
C.5
D.$\frac{7}{2}$
答案
[例3]B
解析
【解析】
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，根据勾股定理可得$AB^2 + AC^2 = BC^2$。
由于正方形的面积等于边长的平方，因此$S_2 = AB^2$，$S_1 = AC^2$，$S_3 = BC^2$，由此可知$S_3 = S_1 + S_2$。
将$S_3 = S_1 + S_2$代入$S_3 + S_2 - S_1 = 18$，可得：
$(S_1 + S_2) + S_2 - S_1 = 18$，
化简得$2S_2 = 18$，解得$S_2 = 9$。
观察图形可知，阴影部分的面积等于$\frac{1}{2}AB · AC$，结合上述推导可得出阴影部分的面积为$\frac{9}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，正方形面积公式
【点评】
本题考查勾股定理与正方形面积的综合应用，核心是利用勾股定理将正方形的面积关系进行转化，进而求解阴影部分的面积。
【难度系数】
0.6
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，根据勾股定理可得$AB^2 + AC^2 = BC^2$。
由于正方形的面积等于边长的平方，因此$S_2 = AB^2$，$S_1 = AC^2$，$S_3 = BC^2$，由此可知$S_3 = S_1 + S_2$。
将$S_3 = S_1 + S_2$代入$S_3 + S_2 - S_1 = 18$，可得：
$(S_1 + S_2) + S_2 - S_1 = 18$，
化简得$2S_2 = 18$，解得$S_2 = 9$。
观察图形可知，阴影部分的面积等于$\frac{1}{2}AB · AC$，结合上述推导可得出阴影部分的面积为$\frac{9}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，正方形面积公式
【点评】
本题考查勾股定理与正方形面积的综合应用，核心是利用勾股定理将正方形的面积关系进行转化，进而求解阴影部分的面积。
【难度系数】
0.6
【例 4】如图，将 Rt△ABC 绕其锐角顶点 A 旋转 $90°$ 得到 Rt△AED，连接 BE，延长 DE，BC 相交于点 F，则有 ∠BFE = $90°$，且四边形 ACFD 是一个正方形。
(1) 判断 △ABE 的形状，并证明你的结论；
(2) 用含 b 的代数式表示四边形 ABFE 的面积；
(3) 利用几何图形的面积证明 $a^2 + b^2 = c^2$。
(1) 判断 △ABE 的形状，并证明你的结论；
(2) 用含 b 的代数式表示四边形 ABFE 的面积；
(3) 利用几何图形的面积证明 $a^2 + b^2 = c^2$。
答案
[例4](1)解:△ABE是等腰直角三角形.证明如下:因为Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到Rt△AED,所以∠BAE=90°.又因为AB=AE,所以△ABE是等腰直角三角形.
(2)解:四边形ABFE的面积为$b^{2}$.
(3)证明:因为$S_{正方形ACFD}=S_{△BAE}+S_{△BFE}$,即$b^{2}=\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}(b+a)(b−a)$,整理,得$2b^{2}=c^{2}+(b+a)(b−a)$,所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
(2)解:四边形ABFE的面积为$b^{2}$.
(3)证明:因为$S_{正方形ACFD}=S_{△BAE}+S_{△BFE}$,即$b^{2}=\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}(b+a)(b−a)$,整理,得$2b^{2}=c^{2}+(b+a)(b−a)$,所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
解析
【解析】
(1) $△ ABE$是等腰直角三角形，证明如下：
∵ Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转$90°$得到Rt△AED，
∴ $∠ BAE=90°$，$AB=AE$，
∴ $△ ABE$是等腰直角三角形。
(2) 解：由题意可知，四边形$ABFE$的面积等于正方形$ACFD$的面积，
∵ 正方形$ACFD$的边长为$b$，
∴ $S_{四边形ABFE}=b^2$。
(3) 证明：
∵ $S_{正方形ACFD}=S_{△ BAE}+S_{△ BFE}$，
∴ $b^2=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}(b+a)(b-a)$，
两边同时乘2得：$2b^2=c^2+(b+a)(b-a)$，
展开并整理得：$2b^2=c^2+b^2-a^2$，
移项可得：$a^2+b^2=c^2$。
【答案】
(1) $△ ABE$是等腰直角三角形，证明见解析；
(2) $b^2$；
(3) 证明见解析。
【知识点】
等腰直角三角形判定，图形旋转的性质，勾股定理的证明
【点评】
本题借助图形旋转构造正方形，利用面积法证明勾股定理，综合考查了旋转性质、等腰直角三角形判定及面积法的应用，体现了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.6
(1) $△ ABE$是等腰直角三角形，证明如下：
∵ Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转$90°$得到Rt△AED，
∴ $∠ BAE=90°$，$AB=AE$，
∴ $△ ABE$是等腰直角三角形。
(2) 解：由题意可知，四边形$ABFE$的面积等于正方形$ACFD$的面积，
∵ 正方形$ACFD$的边长为$b$，
∴ $S_{四边形ABFE}=b^2$。
(3) 证明：
∵ $S_{正方形ACFD}=S_{△ BAE}+S_{△ BFE}$，
∴ $b^2=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}(b+a)(b-a)$，
两边同时乘2得：$2b^2=c^2+(b+a)(b-a)$，
展开并整理得：$2b^2=c^2+b^2-a^2$，
移项可得：$a^2+b^2=c^2$。
【答案】
(1) $△ ABE$是等腰直角三角形，证明见解析；
(2) $b^2$；
(3) 证明见解析。
【知识点】
等腰直角三角形判定，图形旋转的性质，勾股定理的证明
【点评】
本题借助图形旋转构造正方形，利用面积法证明勾股定理，综合考查了旋转性质、等腰直角三角形判定及面积法的应用，体现了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.6
【例 5】由下列线段 a，b，c 首尾相连组成的三角形中，是直角三角形的是(
A.$a = 3$，$b = 4$，$c = 5$
B.$a = 3^2$，$b = 4^2$，$c = 5^2$
C.$a = \sqrt{5}$，$b = \sqrt{12}$，$c = \sqrt{13}$
D.$a = \frac{1}{3}$，$b = \frac{1}{4}$，$c = \frac{1}{5}$
A
)A.$a = 3$，$b = 4$，$c = 5$
B.$a = 3^2$，$b = 4^2$，$c = 5^2$
C.$a = \sqrt{5}$，$b = \sqrt{12}$，$c = \sqrt{13}$
D.$a = \frac{1}{3}$，$b = \frac{1}{4}$，$c = \frac{1}{5}$
答案
[例5]A
解析
【解析】
根据勾股定理的逆定理：若三角形的三边长$a$、$b$、$c$（$c$为最长边）满足$a^2 + b^2 = c^2$，则该三角形为直角三角形。对各选项逐一判断：
选项A：$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，满足勾股定理逆定理，是直角三角形；
选项B：$a=9$，$b=16$，$c=25$，$9^2 + 16^2 = 81 + 256 = 337$，$25^2 = 625$，$337≠625$，不是直角三角形；
选项C：$(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{12})^2 = 5 + 12 = 17$，$(\sqrt{13})^2 = 13$，$17≠13$，不是直角三角形；
选项D：$(\frac{1}{4})^2 + (\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{16} + \frac{1}{25} = \frac{41}{400}$，$(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$，$\frac{41}{400}≠\frac{1}{9}$，不是直角三角形。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题主要考查勾股定理逆定理的应用，解题关键是准确计算各边的平方和，判断是否满足直角三角形的判定条件，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
根据勾股定理的逆定理：若三角形的三边长$a$、$b$、$c$（$c$为最长边）满足$a^2 + b^2 = c^2$，则该三角形为直角三角形。对各选项逐一判断：
选项A：$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，满足勾股定理逆定理，是直角三角形；
选项B：$a=9$，$b=16$，$c=25$，$9^2 + 16^2 = 81 + 256 = 337$，$25^2 = 625$，$337≠625$，不是直角三角形；
选项C：$(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{12})^2 = 5 + 12 = 17$，$(\sqrt{13})^2 = 13$，$17≠13$，不是直角三角形；
选项D：$(\frac{1}{4})^2 + (\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{16} + \frac{1}{25} = \frac{41}{400}$，$(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$，$\frac{41}{400}≠\frac{1}{9}$，不是直角三角形。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题主要考查勾股定理逆定理的应用，解题关键是准确计算各边的平方和，判断是否满足直角三角形的判定条件，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
【例 6】如图，在四边形 ABCD 中，∠ACB = $90°$，AB = 15，BC = 9，AD = 5，CD = 13。
(1) 求 ∠CAD 的度数；
(2) 求四边形 ABCD 的面积。
(1) 求 ∠CAD 的度数；
(2) 求四边形 ABCD 的面积。
答案
[例6]解:(1)∠CAD=90°.
(2)四边形ABCD的面积为84.
(2)四边形ABCD的面积为84.
解析
【解析】
(1) 在$Rt△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，$AB=15$，$BC=9$，由勾股定理得：
$AC^2=AB^2-BC^2=15^2-9^2=225-81=144$，故$AC=12$。
在$△ ACD$中，$AD=5$，$CD=13$，$AC=12$，
因为$AD^2+AC^2=5^2+12^2=25+144=169$，$CD^2=13^2=169$，
所以$AD^2+AC^2=CD^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ ACD$是直角三角形，$∠ CAD=90°$。
(2) 四边形$ABCD$的面积$S=S_{△ ACB}+S_{△ ACD}$，
$S_{△ ACB}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×12×9=54$，
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AD× AC=\frac{1}{2}×5×12=30$，
所以$S=54+30=84$。
【答案】
(1) $∠ CAD=90°$；
(2) 四边形$ABCD$的面积为$84$。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积公式
【点评】
本题考查勾股定理及其逆定理的综合应用，通过勾股定理求出线段长度，再利用逆定理判断直角三角形，进而求解角度和图形面积，需熟练掌握勾股定理及逆定理的应用条件。
【难度系数】
0.6
(1) 在$Rt△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，$AB=15$，$BC=9$，由勾股定理得：
$AC^2=AB^2-BC^2=15^2-9^2=225-81=144$，故$AC=12$。
在$△ ACD$中，$AD=5$，$CD=13$，$AC=12$，
因为$AD^2+AC^2=5^2+12^2=25+144=169$，$CD^2=13^2=169$，
所以$AD^2+AC^2=CD^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ ACD$是直角三角形，$∠ CAD=90°$。
(2) 四边形$ABCD$的面积$S=S_{△ ACB}+S_{△ ACD}$，
$S_{△ ACB}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×12×9=54$，
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AD× AC=\frac{1}{2}×5×12=30$，
所以$S=54+30=84$。
【答案】
(1) $∠ CAD=90°$；
(2) 四边形$ABCD$的面积为$84$。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积公式
【点评】
本题考查勾股定理及其逆定理的综合应用，通过勾股定理求出线段长度，再利用逆定理判断直角三角形，进而求解角度和图形面积，需熟练掌握勾股定理及逆定理的应用条件。
【难度系数】
0.6
