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【例 7】如图，在四边形 ABCD 中，AB⊥BC，AB = 9，BC = 12，CD = 15，AD = $15\sqrt{2}$，求四边形 ABCD 的面积。
答案
[例7]解:$\frac{333}{2}$.
解析
【解析】
连接AC，
∵AB⊥BC，
∴△ABC是直角三角形。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$，故$AC = 15$。
在△ACD中，$AC = 15$，$CD = 15$，$AD = 15\sqrt{2}$，
∵$AC^2 + CD^2 = 15^2 + 15^2 = 450$，$AD^2 = (15\sqrt{2})^2 = 450$，
∴$AC^2 + CD^2 = AD^2$，由勾股定理逆定理可知△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°。
则四边形ABCD的面积为：
$S_{四边形ABCD} = S_{△ ABC} + S_{△ ACD} = \frac{1}{2}×AB×BC + \frac{1}{2}×AC×CD$
$= \frac{1}{2}×9×12 + \frac{1}{2}×15×15 = 54 + \frac{225}{2} = \frac{333}{2}$。
【答案】
$\frac{333}{2}$
【知识点】
勾股定理、勾股定理的逆定理、割补法求面积
【点评】
本题通过连接对角线将四边形转化为两个三角形，利用勾股定理及其逆定理判断直角三角形，进而计算面积，体现了转化思想，是四边形面积计算的典型题型。
【难度系数】
0.6
连接AC，
∵AB⊥BC，
∴△ABC是直角三角形。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$，故$AC = 15$。
在△ACD中，$AC = 15$，$CD = 15$，$AD = 15\sqrt{2}$，
∵$AC^2 + CD^2 = 15^2 + 15^2 = 450$，$AD^2 = (15\sqrt{2})^2 = 450$，
∴$AC^2 + CD^2 = AD^2$，由勾股定理逆定理可知△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°。
则四边形ABCD的面积为：
$S_{四边形ABCD} = S_{△ ABC} + S_{△ ACD} = \frac{1}{2}×AB×BC + \frac{1}{2}×AC×CD$
$= \frac{1}{2}×9×12 + \frac{1}{2}×15×15 = 54 + \frac{225}{2} = \frac{333}{2}$。
【答案】
$\frac{333}{2}$
【知识点】
勾股定理、勾股定理的逆定理、割补法求面积
【点评】
本题通过连接对角线将四边形转化为两个三角形，利用勾股定理及其逆定理判断直角三角形，进而计算面积，体现了转化思想，是四边形面积计算的典型题型。
【难度系数】
0.6
【例 8】如图（示意图），一根直立的旗杆高 8 m，刮大风时旗杆从点 C 处折断，顶部 B 着地且到旗杆底部 A 的距离为 4 m。
(1) 求旗杆在距地面多高处折断；
(2) 在折断点 C 的下方 0.5 m 的点 P 处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点 P 处吹断，那么行人在距离旗杆底部 5 m 处是否有被砸到的风险？
(1) 求旗杆在距地面多高处折断；
(2) 在折断点 C 的下方 0.5 m 的点 P 处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点 P 处吹断，那么行人在距离旗杆底部 5 m 处是否有被砸到的风险？
答案
[例8]解:(1)旗杆在距地面3 m处折断.
(2)行人在距离旗杆底部5 m处没有被砸到的风险.
(2)行人在距离旗杆底部5 m处没有被砸到的风险.
解析
【解析】
(1) 设旗杆在距地面$ x $米处折断，则$ AC = x $米，$ BC = (8 - x) $米。
在$ Rt△ ABC $中，由勾股定理得：
$ x^2 + 4^2 = (8 - x)^2 $
展开化简得：$ 16x = 48 $，解得$ x = 3 $。
即旗杆在距地面3米处折断。
(2) 由(1)知$ AC = 3 $米，$ PC = 0.5 $米，故$ AP = 3 - 0.5 = 2.5 $米。
设从P处折断后顶部落地到旗杆底部A的距离为$ y $米，此时折断后斜边长度为$ 8 - 2.5 = 5.5 $米。
由勾股定理得：
$ y = \sqrt{5.5^2 - 2.5^2} = \sqrt{24} \approx 4.9 $米。
因为$ 4.9 ＜ 5 $，所以行人在距离旗杆底部5米处没有被砸到的风险。
【答案】
(1) 旗杆在距地面3米处折断；
(2) 行人在距离旗杆底部5米处没有被砸到的风险。
【知识点】
勾股定理的应用
【点评】
本题借助直角三角形模型，运用勾股定理解决实际问题，考查了数学建模思想与运算能力。
【难度系数】
0.6
(1) 设旗杆在距地面$ x $米处折断，则$ AC = x $米，$ BC = (8 - x) $米。
在$ Rt△ ABC $中，由勾股定理得：
$ x^2 + 4^2 = (8 - x)^2 $
展开化简得：$ 16x = 48 $，解得$ x = 3 $。
即旗杆在距地面3米处折断。
(2) 由(1)知$ AC = 3 $米，$ PC = 0.5 $米，故$ AP = 3 - 0.5 = 2.5 $米。
设从P处折断后顶部落地到旗杆底部A的距离为$ y $米，此时折断后斜边长度为$ 8 - 2.5 = 5.5 $米。
由勾股定理得：
$ y = \sqrt{5.5^2 - 2.5^2} = \sqrt{24} \approx 4.9 $米。
因为$ 4.9 ＜ 5 $，所以行人在距离旗杆底部5米处没有被砸到的风险。
【答案】
(1) 旗杆在距地面3米处折断；
(2) 行人在距离旗杆底部5米处没有被砸到的风险。
【知识点】
勾股定理的应用
【点评】
本题借助直角三角形模型，运用勾股定理解决实际问题，考查了数学建模思想与运算能力。
【难度系数】
0.6
【例】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心、在周围数百千米的范围内形成极端天气，有极强的破坏力，给人们的生产和生活带来严重影响。如图，台风中心沿东西方向由 A 地向 B 地移动，A，B 两地之间的距离为 100 km，已知海港 C 到 A 地的距离为 60 km，到 B 地的距离为 80 km，台风的影响范围为台风中心周围 50 km 内。
(1) 海港 C 受台风影响吗？请说明理由。
(2) 若台风中心的移动速度为 20 km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？
(1) 海港 C 受台风影响吗？请说明理由。
(2) 若台风中心的移动速度为 20 km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？
答案
[素养发展]
[例]解:(1)海港C受台风影响.理由如下:如图,过点C作CD⊥AB于点D.因为AC=60 km,BC=80 km,AB=100 km,所以$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$,所以△ABC是直角三角形,所以AC·BC=CD·AB,所以60×80=100CD,所以$CD=\frac{60×80}{100}=48(km)$.因为以台风中心为圆心周围50 km以内为受影响区域,所以海港C受影响.
(2)台风影响海港C持续的时间为1.4 h.
解析
【解析】
(1) 过点$ C $作$ CD ⊥ AB $于点$ D $。
已知$ AC=60\ \mathrm{km} $，$ BC=80\ \mathrm{km} $，$ AB=100\ \mathrm{km} $，
因为$ AC^2+BC^2=60^2+80^2=10000 $，$ AB^2=100^2=10000 $，所以$ AC^2+BC^2=AB^2 $，根据勾股定理逆定理，$ △ ABC $是直角三角形，$ ∠ ACB=90° $。
由三角形面积公式$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD $，代入数据解得$ CD=48\ \mathrm{km} $。
因为$ 48＜50 $，所以海港$ C $受台风影响。
(2) 设台风中心移动到点$ E $时开始影响海港$ C $，移动到点$ F $时结束影响，此时$ CE=CF=50\ \mathrm{km} $。
在$ \mathrm{Rt}△ CDE $中，由勾股定理得$ DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{50^2-48^2}=14\ \mathrm{km} $，同理$ DF=14\ \mathrm{km} $，则$ EF=28\ \mathrm{km} $。
结合台风中心移动速度$ 20\ \mathrm{km/h} $，可得持续时间$ t=\frac{28}{20}=1.4\ \mathrm{h} $。
【答案】
(1) 海港$ C $受台风影响，理由见解析；
(2) $ 1.4\ \mathrm{h} $
【知识点】
勾股定理逆定理，勾股定理，三角形面积公式
【点评】
本题将实际台风问题转化为几何问题，考查勾股定理及其逆定理的应用，锻炼数学建模与运算求解能力，体现了数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.6
(1) 过点$ C $作$ CD ⊥ AB $于点$ D $。
已知$ AC=60\ \mathrm{km} $，$ BC=80\ \mathrm{km} $，$ AB=100\ \mathrm{km} $，
因为$ AC^2+BC^2=60^2+80^2=10000 $，$ AB^2=100^2=10000 $，所以$ AC^2+BC^2=AB^2 $，根据勾股定理逆定理，$ △ ABC $是直角三角形，$ ∠ ACB=90° $。
由三角形面积公式$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD $，代入数据解得$ CD=48\ \mathrm{km} $。
因为$ 48＜50 $，所以海港$ C $受台风影响。
(2) 设台风中心移动到点$ E $时开始影响海港$ C $，移动到点$ F $时结束影响，此时$ CE=CF=50\ \mathrm{km} $。
在$ \mathrm{Rt}△ CDE $中，由勾股定理得$ DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{50^2-48^2}=14\ \mathrm{km} $，同理$ DF=14\ \mathrm{km} $，则$ EF=28\ \mathrm{km} $。
结合台风中心移动速度$ 20\ \mathrm{km/h} $，可得持续时间$ t=\frac{28}{20}=1.4\ \mathrm{h} $。
【答案】
(1) 海港$ C $受台风影响，理由见解析；
(2) $ 1.4\ \mathrm{h} $
【知识点】
勾股定理逆定理，勾股定理，三角形面积公式
【点评】
本题将实际台风问题转化为几何问题，考查勾股定理及其逆定理的应用，锻炼数学建模与运算求解能力，体现了数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.6
