登录
10. 已知$x$是$\dfrac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$的相反数，$y$是$\dfrac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$的倒数，求$x^{2} - xy + y^{2}$的值.
答案
解: 11.
解析
【解析】
先对$\dfrac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$进行分母有理化：
$\dfrac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$
根据题意可得：
$x = -(\sqrt{3} + \sqrt{2}) = -\sqrt{3} - \sqrt{2}$，
$y = \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$。
计算$x + y$与$xy$：
$x + y = (-\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = -2\sqrt{2}$
$xy = (-\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1$
将$x^2 - xy + y^2$变形为$(x + y)^2 - 3xy$，代入数值计算：
$(x + y)^2 - 3xy = (-2\sqrt{2})^2 - 3×(-1) = 8 + 3 = 11$
【答案】
11
【知识点】
分母有理化，代数式求值，完全平方公式
【点评】
本题考查二次根式的化简与代数式求值，通过分母有理化得到$x$、$y$的最简形式，再利用完全平方公式对所求代数式变形，可简化运算过程，提升计算效率。
【难度系数】
0.6
先对$\dfrac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$进行分母有理化：
$\dfrac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$
根据题意可得：
$x = -(\sqrt{3} + \sqrt{2}) = -\sqrt{3} - \sqrt{2}$，
$y = \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$。
计算$x + y$与$xy$：
$x + y = (-\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = -2\sqrt{2}$
$xy = (-\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1$
将$x^2 - xy + y^2$变形为$(x + y)^2 - 3xy$，代入数值计算：
$(x + y)^2 - 3xy = (-2\sqrt{2})^2 - 3×(-1) = 8 + 3 = 11$
【答案】
11
【知识点】
分母有理化，代数式求值，完全平方公式
【点评】
本题考查二次根式的化简与代数式求值，通过分母有理化得到$x$、$y$的最简形式，再利用完全平方公式对所求代数式变形，可简化运算过程，提升计算效率。
【难度系数】
0.6
11. 已知实数$x$，$y$满足$x^{2} + y^{2} - 4x - 2y + 5 = 0$，求$\dfrac{\sqrt{x} - y}{\sqrt{3y - 2\sqrt{x}}}$的值.
答案
解: 1.
解析
【解析】
对已知等式配方变形：
$\begin{aligned}x^2 + y^2 - 4x - 2y + 5 &= 0\\(x-2)^2 + (y-1)^2 &= 0\end{aligned}$
根据平方的非负性，得$x-2=0$且$y-1=0$，解得$x=2$，$y=1$。
将$x=2$，$y=1$代入原式：
分子：$\sqrt{2}-1$
分母：$\sqrt{3×1 - 2\sqrt{2}}=\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}=\sqrt{2}-1$
因此原式$=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}=1$。
【答案】
1
【知识点】
配方法、非负性应用、二次根式化简
【点评】
本题先通过配方法结合平方非负性求出$x$、$y$的值，再代入二次根式分式计算，考查了配方法和二次根式运算，需熟练掌握非负性与二次根式的性质。
【难度系数】
0.4
对已知等式配方变形：
$\begin{aligned}x^2 + y^2 - 4x - 2y + 5 &= 0\\(x-2)^2 + (y-1)^2 &= 0\end{aligned}$
根据平方的非负性，得$x-2=0$且$y-1=0$，解得$x=2$，$y=1$。
将$x=2$，$y=1$代入原式：
分子：$\sqrt{2}-1$
分母：$\sqrt{3×1 - 2\sqrt{2}}=\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}=\sqrt{2}-1$
因此原式$=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}=1$。
【答案】
1
【知识点】
配方法、非负性应用、二次根式化简
【点评】
本题先通过配方法结合平方非负性求出$x$、$y$的值，再代入二次根式分式计算，考查了配方法和二次根式运算，需熟练掌握非负性与二次根式的性质。
【难度系数】
0.4
12. 已知$x = \dfrac{1}{3 - 2\sqrt{2}}$，$y = \dfrac{1}{3 + 2\sqrt{2}}$，求$\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} - 4$的值.
答案
解: 30.
解析
【解析】
1. 对$x$、$y$进行分母有理化：
$ x = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} = 3 + 2\sqrt{2} $
$ y = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})} = 3 - 2\sqrt{2} $
2. 计算$x+y$与$xy$：
$ x + y = (3 + 2\sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2}) = 6 $
$ xy = (3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) = 9 - 8 = 1 $
3. 对所求式子变形并代入计算：
$ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 4 = \frac{x^2 + y^2}{xy} - 4 = \frac{(x + y)^2 - 2xy}{xy} - 4 $
将$x+y=6$，$xy=1$代入：
$ \frac{6^2 - 2×1}{1} - 4 = (36 - 2) - 4 = 30 $
【答案】
30
【知识点】
分母有理化、代数式化简、整体代入思想
【点评】
本题考查二次根式的运算与代数式求值，通过分母有理化简化$x$、$y$，再利用整体代入思想将所求式子转化为含$x+y$与$xy$的形式，大幅简化计算过程，提升运算效率。
【难度系数】
0.6
1. 对$x$、$y$进行分母有理化：
$ x = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} = 3 + 2\sqrt{2} $
$ y = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})} = 3 - 2\sqrt{2} $
2. 计算$x+y$与$xy$：
$ x + y = (3 + 2\sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2}) = 6 $
$ xy = (3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) = 9 - 8 = 1 $
3. 对所求式子变形并代入计算：
$ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 4 = \frac{x^2 + y^2}{xy} - 4 = \frac{(x + y)^2 - 2xy}{xy} - 4 $
将$x+y=6$，$xy=1$代入：
$ \frac{6^2 - 2×1}{1} - 4 = (36 - 2) - 4 = 30 $
【答案】
30
【知识点】
分母有理化、代数式化简、整体代入思想
【点评】
本题考查二次根式的运算与代数式求值，通过分母有理化简化$x$、$y$，再利用整体代入思想将所求式子转化为含$x+y$与$xy$的形式，大幅简化计算过程，提升运算效率。
【难度系数】
0.6
13. (1)已知$\sqrt{39 + x^{2}} - \sqrt{15 + x^{2}} = 2$，求$\sqrt{39 + x^{2}} + \sqrt{15 + x^{2}}$的值.
(2)已知$\sqrt{29 - x^{2}} - \sqrt{15 + x^{2}} = 2$，求$\sqrt{29 - x^{2}} + \sqrt{15 + x^{2}}$的值.
(2)已知$\sqrt{29 - x^{2}} - \sqrt{15 + x^{2}} = 2$，求$\sqrt{29 - x^{2}} + \sqrt{15 + x^{2}}$的值.
答案
解: (1) 12. (2)$2\sqrt{21}$.
解析
【解析】
(1)设$a = \sqrt{39 + x^{2}}$，$b = \sqrt{15 + x^{2}}$，则$a - b = 2$，
$a^2 - b^2 = (39 + x^2) - (15 + x^2) = 24$，
由平方差公式$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$，得$24 = 2(a + b)$，
解得$a + b = 12$，即$\sqrt{39 + x^{2}} + \sqrt{15 + x^{2}} = 12$。
(2)设$m = \sqrt{29 - x^{2}}$，$n = \sqrt{15 + x^{2}}$，则$m - n = 2$，
$(m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2 = 4$，
又$m^2 + n^2 = (29 - x^2) + (15 + x^2) = 44$，
代入得$44 - 2mn = 4$，解得$mn = 20$，
$(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 = 44 + 2×20 = 84$，
因为$m + n ＞ 0$，所以$m + n = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}$，即$\sqrt{29 - x^{2}} + \sqrt{15 + x^{2}} = 2\sqrt{21}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{12}$；(2) $\boldsymbol{2\sqrt{21}}$
【知识点】
二次根式运算，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查二次根式的求值，通过换元法结合平方差公式、完全平方公式简化计算，规避直接求解$x^2$的复杂步骤，体现了整体思想在代数运算中的应用。
【难度系数】
0.4
(1)设$a = \sqrt{39 + x^{2}}$，$b = \sqrt{15 + x^{2}}$，则$a - b = 2$，
$a^2 - b^2 = (39 + x^2) - (15 + x^2) = 24$，
由平方差公式$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$，得$24 = 2(a + b)$，
解得$a + b = 12$，即$\sqrt{39 + x^{2}} + \sqrt{15 + x^{2}} = 12$。
(2)设$m = \sqrt{29 - x^{2}}$，$n = \sqrt{15 + x^{2}}$，则$m - n = 2$，
$(m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2 = 4$，
又$m^2 + n^2 = (29 - x^2) + (15 + x^2) = 44$，
代入得$44 - 2mn = 4$，解得$mn = 20$，
$(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 = 44 + 2×20 = 84$，
因为$m + n ＞ 0$，所以$m + n = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}$，即$\sqrt{29 - x^{2}} + \sqrt{15 + x^{2}} = 2\sqrt{21}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{12}$；(2) $\boldsymbol{2\sqrt{21}}$
【知识点】
二次根式运算，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查二次根式的求值，通过换元法结合平方差公式、完全平方公式简化计算，规避直接求解$x^2$的复杂步骤，体现了整体思想在代数运算中的应用。
【难度系数】
0.4
