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1. 甲、乙两个种粮专业户共有田地$0.4\ \mathrm{km}^2$，其中72%是水田。已知甲户的田地中80%是水田，乙户的田地中60%是水田。甲、乙两户各有多少田地？
(1) 设甲户有田地$x\ \mathrm{km}^2$，乙户有田地$y\ \mathrm{km}^2$，填写下表：
(2) 列出关于$x$，$y$的二元一次方程组：。
(1) 设甲户有田地$x\ \mathrm{km}^2$，乙户有田地$y\ \mathrm{km}^2$，填写下表：
(2) 列出关于$x$，$y$的二元一次方程组：。
答案
(1)
| 项目 | 甲户 | 乙户 | 总面积 |
| -- | -- | -- | -- |
| 田地面积/$\mathrm{km}^2$ | $x$ | $y$ | $0.4$ |
| 水田面积/$\mathrm{km}^2$ | $0.8x$ | $0.6y$ | $0.4×0.72 = 0.288$ |
(2)
$\begin{cases}x + y = 0.4\\0.8x + 0.6y = 0.288\end{cases}$
| 项目 | 甲户 | 乙户 | 总面积 |
| -- | -- | -- | -- |
| 田地面积/$\mathrm{km}^2$ | $x$ | $y$ | $0.4$ |
| 水田面积/$\mathrm{km}^2$ | $0.8x$ | $0.6y$ | $0.4×0.72 = 0.288$ |
(2)
$\begin{cases}x + y = 0.4\\0.8x + 0.6y = 0.288\end{cases}$
解析
【分析】
首先看第一问填写表格：我们需要根据题目给出的百分比来计算各户的水田面积。甲户田地面积是$x\ \mathrm{km}^2$，其中80%是水田，所以甲户水田面积就是田地面积乘以80%，即$0.8x$；乙户田地面积是$y\ \mathrm{km}^2$，60%是水田，所以乙户水田面积是$0.6y$；总水田面积是甲乙两户水田面积之和，也可以用总田地面积乘以72%来计算，即$0.4×0.72=0.288$。
然后看第二问列方程组：我们需要从题目中找两个等量关系，第一个是甲乙两户的田地总面积为$0.4\ \mathrm{km}^2$，所以可以得到$x+y=0.4$；第二个是甲乙两户的水田面积之和等于总水田面积，也就是$0.8x+0.6y=0.288$，这样就得到了二元一次方程组。
【解析】
(1) 计算各部分水田面积：
甲户水田面积：甲户田地面积的80%，即$80\%x=0.8x$；
乙户水田面积：乙户田地面积的60%，即$60\%y=0.6y$；
总水田面积：总田地面积的72%，即$0.4×72\%=0.4×0.72=0.288$；
将以上结果填入表格：
| 项目 | 甲户 | 乙户 | 总面积 |
| -- | -- | -- | -- |
| 田地面积/$\mathrm{km}^2$ | $x$ | $y$ | $0.4$ |
| 水田面积/$\mathrm{km}^2$ | $0.8x$ | $0.6y$ | $0.288$ |
(2) 根据等量关系列方程组：
① 甲乙两户田地总面积为$0.4\ \mathrm{km}^2$，可得方程：$x + y = 0.4$；
② 甲乙两户水田面积之和等于总水田面积，可得方程：$0.8x + 0.6y = 0.288$；
联立得到二元一次方程组：$\begin{cases}x + y = 0.4\\0.8x + 0.6y = 0.288\end{cases}$
【答案】
(1)
| 项目 | 甲户 | 乙户 | 总面积 |
| -- | -- | -- | -- |
| 田地面积/$\mathrm{km}^2$ | $x$ | $y$ | $0.4$ |
| 水田面积/$\mathrm{km}^2$ | $0.8x$ | $0.6y$ | $0.288$ |
(2) $\begin{cases}x + y = 0.4\\0.8x + 0.6y = 0.288\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组应用、百分数的实际应用、等量关系建立
【点评】
本题是典型的二元一次方程组实际应用问题，需要先从题目中提取百分比对应的数量关系，再通过两个不同的总量关系（田地总面积、水田总面积）来建立方程组，考察了将实际问题转化为数学模型的能力，是基础的应用题类型。
【难度系数】
0.7
首先看第一问填写表格：我们需要根据题目给出的百分比来计算各户的水田面积。甲户田地面积是$x\ \mathrm{km}^2$，其中80%是水田，所以甲户水田面积就是田地面积乘以80%，即$0.8x$；乙户田地面积是$y\ \mathrm{km}^2$，60%是水田，所以乙户水田面积是$0.6y$；总水田面积是甲乙两户水田面积之和，也可以用总田地面积乘以72%来计算，即$0.4×0.72=0.288$。
然后看第二问列方程组：我们需要从题目中找两个等量关系，第一个是甲乙两户的田地总面积为$0.4\ \mathrm{km}^2$，所以可以得到$x+y=0.4$；第二个是甲乙两户的水田面积之和等于总水田面积，也就是$0.8x+0.6y=0.288$，这样就得到了二元一次方程组。
【解析】
(1) 计算各部分水田面积：
甲户水田面积：甲户田地面积的80%，即$80\%x=0.8x$；
乙户水田面积：乙户田地面积的60%，即$60\%y=0.6y$；
总水田面积：总田地面积的72%，即$0.4×72\%=0.4×0.72=0.288$；
将以上结果填入表格：
| 项目 | 甲户 | 乙户 | 总面积 |
| -- | -- | -- | -- |
| 田地面积/$\mathrm{km}^2$ | $x$ | $y$ | $0.4$ |
| 水田面积/$\mathrm{km}^2$ | $0.8x$ | $0.6y$ | $0.288$ |
(2) 根据等量关系列方程组：
① 甲乙两户田地总面积为$0.4\ \mathrm{km}^2$，可得方程：$x + y = 0.4$；
② 甲乙两户水田面积之和等于总水田面积，可得方程：$0.8x + 0.6y = 0.288$；
联立得到二元一次方程组：$\begin{cases}x + y = 0.4\\0.8x + 0.6y = 0.288\end{cases}$
【答案】
(1)
| 项目 | 甲户 | 乙户 | 总面积 |
| -- | -- | -- | -- |
| 田地面积/$\mathrm{km}^2$ | $x$ | $y$ | $0.4$ |
| 水田面积/$\mathrm{km}^2$ | $0.8x$ | $0.6y$ | $0.288$ |
(2) $\begin{cases}x + y = 0.4\\0.8x + 0.6y = 0.288\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组应用、百分数的实际应用、等量关系建立
【点评】
本题是典型的二元一次方程组实际应用问题，需要先从题目中提取百分比对应的数量关系，再通过两个不同的总量关系（田地总面积、水田总面积）来建立方程组，考察了将实际问题转化为数学模型的能力，是基础的应用题类型。
【难度系数】
0.7
2. 某中学现有学生4 200人，计划一年后初中在校学生增加8%，高中在校学生增加11%，这样会使该中学在校学生增加10%。这所中学现在的初中和高中在校学生分别有多少人？
(1) 设现在的初中在校学生有$x$人，高中在校学生有$y$人，填写下表：
(2) 列出关于$x$，$y$的二元一次方程组：。
(1) 设现在的初中在校学生有$x$人，高中在校学生有$y$人，填写下表：
(2) 列出关于$x$，$y$的二元一次方程组：。
答案
(1)
| 学生情况 | 初中在校学生 | 高中在校学生 | 总人数 |
| --- | --- | --- | --- |
| 现有学生数/人 | $x$ | $y$ | $4200$ |
| 一年后学生数/人 | $(1 + 8\%)x$ | $(1 + 11\%)y$ | $4200×(1 + 10\%)$ |
(2)
$\begin{cases}x + y = 4200\\(1 + 8\%)x+(1 + 11\%)y = 4200×(1 + 10\%)\end{cases}$
| 学生情况 | 初中在校学生 | 高中在校学生 | 总人数 |
| --- | --- | --- | --- |
| 现有学生数/人 | $x$ | $y$ | $4200$ |
| 一年后学生数/人 | $(1 + 8\%)x$ | $(1 + 11\%)y$ | $4200×(1 + 10\%)$ |
(2)
$\begin{cases}x + y = 4200\\(1 + 8\%)x+(1 + 11\%)y = 4200×(1 + 10\%)\end{cases}$
解析
【分析】
首先，我们需要结合题目中的条件逐步推导表格内容和方程组：
1. 对于表格填写：现有学生总数为4200人，已知初中$x$人、高中$y$人；一年后初中学生增加8%，即变为原人数的$(1+8\%)$，所以一年后初中人数是$(1+8\%)x$；高中学生增加11%，同理一年后高中人数是$(1+11\%)y$；总人数增加10%，则一年后总人数为$4200×(1+10\%)$。
2. 对于列方程组：第一个等量关系是现有初中和高中人数之和等于总人数4200；第二个等量关系是一年后初中人数与高中人数之和等于一年后的总人数，据此可列出方程组。
【解析】
(1) 根据增长率的计算规则：
一年后初中在校学生数为原人数的$(1+8\%)$，即$\boldsymbol{(1 + 8\%)x}$；
一年后高中在校学生数为原人数的$(1+11\%)$，即$\boldsymbol{(1 + 11\%)y}$；
一年后总人数为原总人数的$(1+10\%)$，即$\boldsymbol{4200×(1 + 10\%)}$。
填写后的表格如下：
| 学生情况 | 初中在校学生 | 高中在校学生 | 总人数 |
| --- | --- | --- | --- |
| 现有学生数/人 | $x$ | $y$ | $4200$ |
| 一年后学生数/人 | $(1 + 8\%)x$ | $(1 + 11\%)y$ | $4200×(1 + 10\%)$ |
(2) 根据题意找等量关系：
① 现有初中学生数 + 现有高中学生数 = 现有总人数，列方程：$x + y = 4200$；
② 一年后初中学生数 + 一年后高中学生数 = 一年后总人数，列方程：$(1 + 8\%)x+(1 + 11\%)y = 4200×(1 + 10\%)$；
因此得到二元一次方程组：$\boldsymbol{\begin{cases}x + y = 4200\\(1 + 8\%)x+(1 + 11\%)y = 4200×(1 + 10\%)\end{cases}}$
【答案】
(1) 表格依次填：$\boldsymbol{(1 + 8\%)x}$，$\boldsymbol{(1 + 11\%)y}$，$\boldsymbol{4200×(1 + 10\%)}$；
(2) $\boldsymbol{\begin{cases}x + y = 4200\\(1 + 8\%)x+(1 + 11\%)y = 4200×(1 + 10\%)\end{cases}}$
【知识点】
二元一次方程组的应用，增长率问题
【点评】
本题考查二元一次方程组在增长率问题中的实际应用，核心是找准两个等量关系：现有学生总数的关系、一年后学生总数的关系。解题时需熟练掌握增长率的计算公式：增长后的数量=原数量×(1+增长率)。
【难度系数】
0.6
首先，我们需要结合题目中的条件逐步推导表格内容和方程组：
1. 对于表格填写：现有学生总数为4200人，已知初中$x$人、高中$y$人；一年后初中学生增加8%，即变为原人数的$(1+8\%)$，所以一年后初中人数是$(1+8\%)x$；高中学生增加11%，同理一年后高中人数是$(1+11\%)y$；总人数增加10%，则一年后总人数为$4200×(1+10\%)$。
2. 对于列方程组：第一个等量关系是现有初中和高中人数之和等于总人数4200；第二个等量关系是一年后初中人数与高中人数之和等于一年后的总人数，据此可列出方程组。
【解析】
(1) 根据增长率的计算规则：
一年后初中在校学生数为原人数的$(1+8\%)$，即$\boldsymbol{(1 + 8\%)x}$；
一年后高中在校学生数为原人数的$(1+11\%)$，即$\boldsymbol{(1 + 11\%)y}$；
一年后总人数为原总人数的$(1+10\%)$，即$\boldsymbol{4200×(1 + 10\%)}$。
填写后的表格如下：
| 学生情况 | 初中在校学生 | 高中在校学生 | 总人数 |
| --- | --- | --- | --- |
| 现有学生数/人 | $x$ | $y$ | $4200$ |
| 一年后学生数/人 | $(1 + 8\%)x$ | $(1 + 11\%)y$ | $4200×(1 + 10\%)$ |
(2) 根据题意找等量关系：
① 现有初中学生数 + 现有高中学生数 = 现有总人数，列方程：$x + y = 4200$；
② 一年后初中学生数 + 一年后高中学生数 = 一年后总人数，列方程：$(1 + 8\%)x+(1 + 11\%)y = 4200×(1 + 10\%)$；
因此得到二元一次方程组：$\boldsymbol{\begin{cases}x + y = 4200\\(1 + 8\%)x+(1 + 11\%)y = 4200×(1 + 10\%)\end{cases}}$
【答案】
(1) 表格依次填：$\boldsymbol{(1 + 8\%)x}$，$\boldsymbol{(1 + 11\%)y}$，$\boldsymbol{4200×(1 + 10\%)}$；
(2) $\boldsymbol{\begin{cases}x + y = 4200\\(1 + 8\%)x+(1 + 11\%)y = 4200×(1 + 10\%)\end{cases}}$
【知识点】
二元一次方程组的应用，增长率问题
【点评】
本题考查二元一次方程组在增长率问题中的实际应用，核心是找准两个等量关系：现有学生总数的关系、一年后学生总数的关系。解题时需熟练掌握增长率的计算公式：增长后的数量=原数量×(1+增长率)。
【难度系数】
0.6
