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3. 小明和爸爸去超市买了12袋牛奶和24个面包，花去60元。两天后去该超市时，全场商品打8折，他们花去60元，却比上次多买了同样的4袋牛奶和3个面包。打折前牛奶和面包的单价各是多少元？
答案
设打折前牛奶的单价为$x$元，面包的单价为$y$元。
根据题意，得：
$\begin{cases}12x + 24y = 60 \\0.8×(12 + 4)x + 0.8×(24 + 3)y = 60\end{cases}$
化简第一个方程：两边同时除以12，得$x + 2y = 5$，即$x = 5 - 2y$。
化简第二个方程：$0.8×16x + 0.8×27y = 60$，即$12.8x + 21.6y = 60$，两边同时乘以10得$128x + 216y = 600$，再除以4得$32x + 54y = 150$，再除以2得$16x + 27y = 75$。
将$x = 5 - 2y$代入$16x + 27y = 75$：
$16(5 - 2y) + 27y = 75$
$80 - 32y + 27y = 75$
$-5y = -5$
$y = 1$
将$y = 1$代入$x = 5 - 2y$，得$x = 5 - 2×1 = 3$。
答：打折前牛奶的单价是3元，面包的单价是1元。
根据题意，得：
$\begin{cases}12x + 24y = 60 \\0.8×(12 + 4)x + 0.8×(24 + 3)y = 60\end{cases}$
化简第一个方程：两边同时除以12，得$x + 2y = 5$，即$x = 5 - 2y$。
化简第二个方程：$0.8×16x + 0.8×27y = 60$，即$12.8x + 21.6y = 60$，两边同时乘以10得$128x + 216y = 600$，再除以4得$32x + 54y = 150$，再除以2得$16x + 27y = 75$。
将$x = 5 - 2y$代入$16x + 27y = 75$：
$16(5 - 2y) + 27y = 75$
$80 - 32y + 27y = 75$
$-5y = -5$
$y = 1$
将$y = 1$代入$x = 5 - 2y$，得$x = 5 - 2×1 = 3$。
答：打折前牛奶的单价是3元，面包的单价是1元。
解析
【分析】
这是一道二元一次方程组的实际应用问题，解题思路如下：
1. 确定未知数：设打折前牛奶和面包的单价分别为$x$元、$y$元，将实际问题转化为数学方程问题。
2. 寻找等量关系列方程组：
第一次原价购买：12袋牛奶和24个面包总价60元，可得方程$12x + 24y = 60$；
第二次8折购买：比上次多买4袋牛奶和3个面包，总价仍为60元，根据“打折后总价=0.8×打折前总售价”，可得方程$0.8×[(12+4)x + (24+3)y] = 60$。
3. 求解方程组：先化简两个方程，再用代入消元法，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示，代入另一方程求解，最后回代求出剩余未知数。
【解析】
设打折前牛奶的单价为$x$元，面包的单价为$y$元。
根据题意，列方程组：
$\begin{cases}12x + 24y = 60 \\0.8×(12 + 4)x + 0.8×(24 + 3)y = 60\end{cases}$
1. 化简第一个方程：
两边同时除以12，得$x + 2y = 5$，变形为$x = 5 - 2y$ ①
2. 化简第二个方程：
计算括号内数量：$12+4=16$，$24+3=27$，方程变为$0.8×16x + 0.8×27y = 60$
计算得$12.8x + 21.6y = 60$，两边同乘10得$128x + 216y = 600$，再依次除以4、2，化简为$16x + 27y = 75$ ②
3. 代入求解：
将①代入②，得$16(5 - 2y) + 27y = 75$
展开括号：$80 - 32y + 27y = 75$
合并同类项：$80 - 5y = 75$
移项计算：$-5y = -5$，解得$y = 1$
4. 回代求$x$：
将$y = 1$代入①，得$x = 5 - 2×1 = 3$
【答案】
打折前牛奶的单价是3元，面包的单价是1元。
【知识点】
二元一次方程组的实际应用、商品打折问题
【点评】
本题考查二元一次方程组在购物场景中的应用，核心是准确提取两次购买的总价等量关系，列方程时需注意打折后价格的计算逻辑；化简和求解过程中要细心计算，避免因运算失误导致结果错误。
【难度系数】
0.6
这是一道二元一次方程组的实际应用问题，解题思路如下：
1. 确定未知数：设打折前牛奶和面包的单价分别为$x$元、$y$元，将实际问题转化为数学方程问题。
2. 寻找等量关系列方程组：
第一次原价购买：12袋牛奶和24个面包总价60元，可得方程$12x + 24y = 60$；
第二次8折购买：比上次多买4袋牛奶和3个面包，总价仍为60元，根据“打折后总价=0.8×打折前总售价”，可得方程$0.8×[(12+4)x + (24+3)y] = 60$。
3. 求解方程组：先化简两个方程，再用代入消元法，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示，代入另一方程求解，最后回代求出剩余未知数。
【解析】
设打折前牛奶的单价为$x$元，面包的单价为$y$元。
根据题意，列方程组：
$\begin{cases}12x + 24y = 60 \\0.8×(12 + 4)x + 0.8×(24 + 3)y = 60\end{cases}$
1. 化简第一个方程：
两边同时除以12，得$x + 2y = 5$，变形为$x = 5 - 2y$ ①
2. 化简第二个方程：
计算括号内数量：$12+4=16$，$24+3=27$，方程变为$0.8×16x + 0.8×27y = 60$
计算得$12.8x + 21.6y = 60$，两边同乘10得$128x + 216y = 600$，再依次除以4、2，化简为$16x + 27y = 75$ ②
3. 代入求解：
将①代入②，得$16(5 - 2y) + 27y = 75$
展开括号：$80 - 32y + 27y = 75$
合并同类项：$80 - 5y = 75$
移项计算：$-5y = -5$，解得$y = 1$
4. 回代求$x$：
将$y = 1$代入①，得$x = 5 - 2×1 = 3$
【答案】
打折前牛奶的单价是3元，面包的单价是1元。
【知识点】
二元一次方程组的实际应用、商品打折问题
【点评】
本题考查二元一次方程组在购物场景中的应用，核心是准确提取两次购买的总价等量关系，列方程时需注意打折后价格的计算逻辑；化简和求解过程中要细心计算，避免因运算失误导致结果错误。
【难度系数】
0.6
4. 某厂第一季度生产甲、乙两种机器共480台。改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共554台，其中甲种机器产量要比第一季度增产10%，乙种机器产量要比第一季度增加20%。该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？
答案
设第一季度甲机器生产$x$台，乙机器生产$y$台。
根据题意得：
$\begin{cases}x + y = 480, \\(1 + 10\%)x + (1 + 20\%)y = 554\end{cases}$
方程组可化简为：
$\begin{cases}x + y = 480, \\1.1x + 1.2y = 554\end{cases}$
第一个方程乘以1.2得：
$1.2x + 1.2y = 576$，
用此方程减去第二个方程得：
$0.1x = 22$，
解得：
$x = 220$，
将$x = 220$代入第一个方程得：
$y = 260$，
所以该方程组的解为：
$\begin{cases}x = 220, \\y = 260\end{cases}$
答：该厂第一季度生产甲机器220台，乙机器260台。
根据题意得：
$\begin{cases}x + y = 480, \\(1 + 10\%)x + (1 + 20\%)y = 554\end{cases}$
方程组可化简为：
$\begin{cases}x + y = 480, \\1.1x + 1.2y = 554\end{cases}$
第一个方程乘以1.2得：
$1.2x + 1.2y = 576$，
用此方程减去第二个方程得：
$0.1x = 22$，
解得：
$x = 220$，
将$x = 220$代入第一个方程得：
$y = 260$，
所以该方程组的解为：
$\begin{cases}x = 220, \\y = 260\end{cases}$
答：该厂第一季度生产甲机器220台，乙机器260台。
解析
【分析】
这是一道二元一次方程组的应用题，解题思路如下：
1. 确定未知量：题目要求第一季度甲、乙两种机器的产量，因此设第一季度生产甲机器$x$台，乙机器$y$台。
2. 寻找等量关系：
第一季度甲、乙两种机器总产量为480台，可得方程$x + y = 480$；
第二季度甲机器增产10%，产量为$(1+10\%)x$，乙机器增产20%，产量为$(1+20\%)y$，两种机器总产量为554台，可得方程$(1+10\%)x + (1+20\%)y = 554$。
3. 解方程组：采用加减消元法，先将第一个方程变形，再与第二个方程相减消去$y$，求出$x$的值，再代入第一个方程求出$y$的值，即可得到最终结果。
【解析】
设第一季度生产甲机器$x$台，乙机器$y$台。
根据题意列出方程组：
$\begin{cases}x + y = 480 \\(1 + 10\%)x + (1 + 20\%)y = 554\end{cases}$
将方程组化简为：
$\begin{cases}x + y = 480 \\1.1x + 1.2y = 554\end{cases}$
1. 消去$y$：将第一个方程两边同时乘以1.2，得：
$1.2x + 1.2y = 576$
2. 用上述方程减去第二个方程：
$(1.2x + 1.2y) - (1.1x + 1.2y) = 576 - 554$
化简得：$0.1x = 22$
解得：$x = 220$
3. 求$y$的值：将$x = 220$代入$x + y = 480$，得：
$220 + y = 480$
解得：$y = 260$
因此方程组的解为$\begin{cases}x = 220 \\y = 260\end{cases}$
答：该厂第一季度生产甲机器220台，乙机器260台。
【答案】
该厂第一季度生产甲机器220台，乙机器260台。
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 加减消元法解方程组
【点评】
本题是典型的二元一次方程组实际应用问题，核心是根据题目中的两个等量关系建立方程组，考察学生的数学建模能力和方程组的求解能力。解题时需准确理解“增产”的含义，正确列出方程，熟练运用消元法求解方程组，属于基础应用型题目，有助于提升学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
这是一道二元一次方程组的应用题，解题思路如下：
1. 确定未知量：题目要求第一季度甲、乙两种机器的产量，因此设第一季度生产甲机器$x$台，乙机器$y$台。
2. 寻找等量关系：
第一季度甲、乙两种机器总产量为480台，可得方程$x + y = 480$；
第二季度甲机器增产10%，产量为$(1+10\%)x$，乙机器增产20%，产量为$(1+20\%)y$，两种机器总产量为554台，可得方程$(1+10\%)x + (1+20\%)y = 554$。
3. 解方程组：采用加减消元法，先将第一个方程变形，再与第二个方程相减消去$y$，求出$x$的值，再代入第一个方程求出$y$的值，即可得到最终结果。
【解析】
设第一季度生产甲机器$x$台，乙机器$y$台。
根据题意列出方程组：
$\begin{cases}x + y = 480 \\(1 + 10\%)x + (1 + 20\%)y = 554\end{cases}$
将方程组化简为：
$\begin{cases}x + y = 480 \\1.1x + 1.2y = 554\end{cases}$
1. 消去$y$：将第一个方程两边同时乘以1.2，得：
$1.2x + 1.2y = 576$
2. 用上述方程减去第二个方程：
$(1.2x + 1.2y) - (1.1x + 1.2y) = 576 - 554$
化简得：$0.1x = 22$
解得：$x = 220$
3. 求$y$的值：将$x = 220$代入$x + y = 480$，得：
$220 + y = 480$
解得：$y = 260$
因此方程组的解为$\begin{cases}x = 220 \\y = 260\end{cases}$
答：该厂第一季度生产甲机器220台，乙机器260台。
【答案】
该厂第一季度生产甲机器220台，乙机器260台。
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 加减消元法解方程组
【点评】
本题是典型的二元一次方程组实际应用问题，核心是根据题目中的两个等量关系建立方程组，考察学生的数学建模能力和方程组的求解能力。解题时需准确理解“增产”的含义，正确列出方程，熟练运用消元法求解方程组，属于基础应用型题目，有助于提升学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
5. 燃气费由基本月租费、保险费和超额费组成。当燃气使用量不超过$a\ \mathrm{m}^3$时，当月需缴纳保险费3元和基本月租费$b$元；当燃气使用量超过$a\ \mathrm{m}^3$时，超出的部分还要按3.2元/$\mathrm{m}^3$计费。小红家3月、4月的燃气使用量与缴费情况如下表，其中3月的燃气使用量未超过$a\ \mathrm{m}^3$。
(1) 求$a$，$b$的值；
(2) 已知小红家5月缴纳燃气费42元，那么她家这个月的燃气使用量为多少？
(1) 求$a$，$b$的值；
(2) 已知小红家5月缴纳燃气费42元，那么她家这个月的燃气使用量为多少？
答案
(1) 因为3月燃气使用量未超过$a\ \mathrm{m}^3$，所以费用为保险费+基本月租费，即$3 + b = 10$，解得$b = 7$。
4月燃气使用量20$\mathrm{m}^3$超过$a\ \mathrm{m}^3$，费用为$3 + b + 3.2(20 - a) = 58$，将$b = 7$代入得：$3 + 7 + 3.2(20 - a) = 58$，即$10 + 3.2(20 - a) = 58$，$3.2(20 - a) = 48$，$20 - a = 15$，解得$a = 5$。
(2) 设5月燃气使用量为$x\ \mathrm{m}^3$。因为42元$＞10$元（未超量费用），所以$x ＞ 5$。
费用方程为$3 + 7 + 3.2(x - 5) = 42$，即$10 + 3.2(x - 5) = 42$，$3.2(x - 5) = 32$，$x - 5 = 10$，解得$x = 15$。
(1)$a = 5$，$b = 7$；(2)15$\mathrm{m}^3$。
4月燃气使用量20$\mathrm{m}^3$超过$a\ \mathrm{m}^3$，费用为$3 + b + 3.2(20 - a) = 58$，将$b = 7$代入得：$3 + 7 + 3.2(20 - a) = 58$，即$10 + 3.2(20 - a) = 58$，$3.2(20 - a) = 48$，$20 - a = 15$，解得$a = 5$。
(2) 设5月燃气使用量为$x\ \mathrm{m}^3$。因为42元$＞10$元（未超量费用），所以$x ＞ 5$。
费用方程为$3 + 7 + 3.2(x - 5) = 42$，即$10 + 3.2(x - 5) = 42$，$3.2(x - 5) = 32$，$x - 5 = 10$，解得$x = 15$。
(1)$a = 5$，$b = 7$；(2)15$\mathrm{m}^3$。
解析
【分析】
首先解决第一问：已知3月燃气使用量未超过$a\ \mathrm{m}^3$，此时燃气费仅由基本月租费和保险费组成，可直接根据3月的费用列出方程求出$b$的值；4月使用量超过$a\ \mathrm{m}^3$，费用包含基础费用（保险费+月租费）和超出部分的超额费，代入已求出的$b$，就能列出关于$a$的方程求解。
再解决第二问：先对比5月费用和基础费用（$3+b$），判断使用量是否超过$a\ \mathrm{m}^3$，确定属于超额计费区间后，设使用量为$x$，根据计费规则列方程求解即可。
【解析】
(1) ① 求$b$的值：
因为3月燃气使用量未超过$a\ \mathrm{m}^3$，燃气费为保险费+基本月租费，根据题意列方程：
$3 + b = 10$
解得：$b = 7$
② 求$a$的值：
因为4月燃气使用量$20\ \mathrm{m}^3$超过$a\ \mathrm{m}^3$，燃气费为基础费用+超出部分的超额费，将$b=7$代入，列方程：
$3 + 7 + 3.2(20 - a) = 58$
化简得：$10 + 3.2(20 - a) = 58$
移项计算：$3.2(20 - a) = 58 - 10 = 48$
两边同时除以3.2：$20 - a = 48÷3.2 = 15$
解得：$a = 5$
(2) 设小红家5月燃气使用量为$x\ \mathrm{m}^3$。
基础费用为$3+7=10$元，因为$42＞10$，所以$x ＞ 5$，根据题意列方程：
$3 + 7 + 3.2(x - 5) = 42$
化简得：$10 + 3.2(x - 5) = 42$
移项计算：$3.2(x - 5) = 42 - 10 = 32$
两边同时除以3.2：$x - 5 = 32÷3.2 = 10$
解得：$x = 15$
【答案】
(1) $a = 5$，$b = 7$；(2) $15\ \mathrm{m}^3$
【知识点】
分段计费问题，一元一次方程应用
【点评】
本题核心是理解分段计费的规则，需准确判断使用量对应的费用区间，再根据不同区间的计费逻辑列方程求解，考查对实际问题的数学建模能力。
【难度系数】
0.6
首先解决第一问：已知3月燃气使用量未超过$a\ \mathrm{m}^3$，此时燃气费仅由基本月租费和保险费组成，可直接根据3月的费用列出方程求出$b$的值；4月使用量超过$a\ \mathrm{m}^3$，费用包含基础费用（保险费+月租费）和超出部分的超额费，代入已求出的$b$，就能列出关于$a$的方程求解。
再解决第二问：先对比5月费用和基础费用（$3+b$），判断使用量是否超过$a\ \mathrm{m}^3$，确定属于超额计费区间后，设使用量为$x$，根据计费规则列方程求解即可。
【解析】
(1) ① 求$b$的值：
因为3月燃气使用量未超过$a\ \mathrm{m}^3$，燃气费为保险费+基本月租费，根据题意列方程：
$3 + b = 10$
解得：$b = 7$
② 求$a$的值：
因为4月燃气使用量$20\ \mathrm{m}^3$超过$a\ \mathrm{m}^3$，燃气费为基础费用+超出部分的超额费，将$b=7$代入，列方程：
$3 + 7 + 3.2(20 - a) = 58$
化简得：$10 + 3.2(20 - a) = 58$
移项计算：$3.2(20 - a) = 58 - 10 = 48$
两边同时除以3.2：$20 - a = 48÷3.2 = 15$
解得：$a = 5$
(2) 设小红家5月燃气使用量为$x\ \mathrm{m}^3$。
基础费用为$3+7=10$元，因为$42＞10$，所以$x ＞ 5$，根据题意列方程：
$3 + 7 + 3.2(x - 5) = 42$
化简得：$10 + 3.2(x - 5) = 42$
移项计算：$3.2(x - 5) = 42 - 10 = 32$
两边同时除以3.2：$x - 5 = 32÷3.2 = 10$
解得：$x = 15$
【答案】
(1) $a = 5$，$b = 7$；(2) $15\ \mathrm{m}^3$
【知识点】
分段计费问题，一元一次方程应用
【点评】
本题核心是理解分段计费的规则，需准确判断使用量对应的费用区间，再根据不同区间的计费逻辑列方程求解，考查对实际问题的数学建模能力。
【难度系数】
0.6
