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4. 已知:m,n是正整数,且$m+n$是偶数.
求证:m,n都是奇数或都是偶数.
求证:m,n都是奇数或都是偶数.
答案
证明：假设m,n不是都是奇数且不是都是偶数，即m,n一个是奇数，一个是偶数.
不妨设m为奇数，n为偶数，令m=2k+1（k为整数），n=2l（l为整数）.
则m+n=(2k+1)+2l=2(k+l)+1，为奇数.
这与已知m+n是偶数矛盾.
故假设不成立，原命题得证，即m,n都是奇数或都是偶数.
不妨设m为奇数，n为偶数，令m=2k+1（k为整数），n=2l（l为整数）.
则m+n=(2k+1)+2l=2(k+l)+1，为奇数.
这与已知m+n是偶数矛盾.
故假设不成立，原命题得证，即m,n都是奇数或都是偶数.
解析
【分析】
这道题是证明类题目，直接证明“m,n都是奇数或都是偶数”需分情况讨论，过程相对繁琐，而其反面“m,n一个是奇数、一个是偶数”情况唯一，适合采用反证法证明。解题思路为：先假设原命题结论不成立，即m,n一奇一偶；再用奇数、偶数的代数形式（奇数可表示为2k+1，偶数可表示为2l，k,l为整数）代入m+n，计算出m+n的奇偶性；最后推导得出与已知条件“m+n是偶数”矛盾的结果，从而否定假设，证明原命题成立。
【解析】
证明：假设m,n不是都是奇数且不是都是偶数，即m,n一个是奇数，一个是偶数。
不妨设m为奇数，n为偶数，令$m=2k+1$（$k$为整数），$n=2l$（$l$为整数）。
则$m+n=(2k+1)+2l=2(k+l)+1$，显然$2(k+l)+1$为奇数。
这与已知“$m+n$是偶数”矛盾。
故假设不成立，原命题得证，即m,n都是奇数或都是偶数。
【答案】
m,n都是奇数或都是偶数（原命题得证）
【知识点】
反证法、奇偶性运算性质
【点评】
本题主要考查反证法的应用及奇数、偶数的核心性质。反证法是间接证明的重要方法，当直接证明原命题难度较大时，可通过假设结论的反面成立，推导得出与已知条件、定理等矛盾的结果，进而否定假设，证明原命题成立。解题时需准确写出原命题的否定形式，熟练掌握奇数、偶数的代数表示及奇偶性运算规律。
【难度系数】
0.6
这道题是证明类题目，直接证明“m,n都是奇数或都是偶数”需分情况讨论，过程相对繁琐，而其反面“m,n一个是奇数、一个是偶数”情况唯一，适合采用反证法证明。解题思路为：先假设原命题结论不成立，即m,n一奇一偶；再用奇数、偶数的代数形式（奇数可表示为2k+1，偶数可表示为2l，k,l为整数）代入m+n，计算出m+n的奇偶性；最后推导得出与已知条件“m+n是偶数”矛盾的结果，从而否定假设，证明原命题成立。
【解析】
证明：假设m,n不是都是奇数且不是都是偶数，即m,n一个是奇数，一个是偶数。
不妨设m为奇数，n为偶数，令$m=2k+1$（$k$为整数），$n=2l$（$l$为整数）。
则$m+n=(2k+1)+2l=2(k+l)+1$，显然$2(k+l)+1$为奇数。
这与已知“$m+n$是偶数”矛盾。
故假设不成立，原命题得证，即m,n都是奇数或都是偶数。
【答案】
m,n都是奇数或都是偶数（原命题得证）
【知识点】
反证法、奇偶性运算性质
【点评】
本题主要考查反证法的应用及奇数、偶数的核心性质。反证法是间接证明的重要方法，当直接证明原命题难度较大时，可通过假设结论的反面成立，推导得出与已知条件、定理等矛盾的结果，进而否定假设，证明原命题成立。解题时需准确写出原命题的否定形式，熟练掌握奇数、偶数的代数表示及奇偶性运算规律。
【难度系数】
0.6
5. 根据定理“平行于同一条直线的两条直线平行”进行填空,并完成证明.
(1)如图①,$∠APC=$.
证明:过点P作$PQ// AB$.
(2)如图②,$∠APC=$.
证明:过点P作$PQ// AB$.
(3)如图③,$∠APC=$.
证明:过点P作$PQ// AB$.
(1)如图①,$∠APC=$.
证明:过点P作$PQ// AB$.
(2)如图②,$∠APC=$.
证明:过点P作$PQ// AB$.
(3)如图③,$∠APC=$.
证明:过点P作$PQ// AB$.
答案
(1)∠A+∠C；(2)360°-∠A-∠C；(3)∠C-∠A
解析
(1)∠A+∠C。证明：过点P作PQ//AB，∴∠A=∠APQ（两直线平行，内错角相等）。∵AB//CD，PQ//AB，∴PQ//CD（平行于同一条直线的两条直线平行），∴∠C=∠CPQ（两直线平行，内错角相等）。∴∠APC=∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C。
(2)360°-∠A-∠C。证明：过点P作PQ//AB，∴∠A+∠APQ=180°（两直线平行，同旁内角互补），即∠APQ=180°-∠A。∵AB//CD，PQ//AB，∴PQ//CD（平行于同一条直线的两条直线平行），∴∠C+∠CPQ=180°（两直线平行，同旁内角互补），即∠CPQ=180°-∠C。∴∠APC=∠APQ+∠CPQ=360°-∠A-∠C。
(3)∠C-∠A。证明：过点P作PQ//AB，∴∠QPA=∠A（两直线平行，内错角相等）。∵AB//CD，PQ//AB，∴PQ//CD（平行于同一条直线的两条直线平行），∴∠QPC=∠C（两直线平行，内错角相等）。∴∠APC=∠QPC-∠QPA=∠C-∠A。
(2)360°-∠A-∠C。证明：过点P作PQ//AB，∴∠A+∠APQ=180°（两直线平行，同旁内角互补），即∠APQ=180°-∠A。∵AB//CD，PQ//AB，∴PQ//CD（平行于同一条直线的两条直线平行），∴∠C+∠CPQ=180°（两直线平行，同旁内角互补），即∠CPQ=180°-∠C。∴∠APC=∠APQ+∠CPQ=360°-∠A-∠C。
(3)∠C-∠A。证明：过点P作PQ//AB，∴∠QPA=∠A（两直线平行，内错角相等）。∵AB//CD，PQ//AB，∴PQ//CD（平行于同一条直线的两条直线平行），∴∠QPC=∠C（两直线平行，内错角相等）。∴∠APC=∠QPC-∠QPA=∠C-∠A。
6. 用反证法证明:已知$△ ABC$的三个内角分别为$∠A,∠B,∠C$,则这三个内角中至少有一个不小于$60^{\circ }$.
答案
证明：假设△ABC的三个内角都小于60°，
即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，
则∠A+∠B+∠C＜60°+60°+60°=180°，
这与三角形内角和定理“三角形三个内角的和等于180°”相矛盾，
所以假设不成立，
故△ABC的三个内角中至少有一个不小于60°。
即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，
则∠A+∠B+∠C＜60°+60°+60°=180°，
这与三角形内角和定理“三角形三个内角的和等于180°”相矛盾，
所以假设不成立，
故△ABC的三个内角中至少有一个不小于60°。
解析
【分析】
要证明“三角形三个内角中至少有一个不小于60°”，适合采用反证法。反证法的核心思路是先否定原命题的结论，假设结论的反面成立，再通过逻辑推理推出与已知定理、公理矛盾的结果，从而说明假设不成立，原命题结论正确。具体来说，原结论“至少有一个不小于60°”的反面是“三个内角都小于60°”，接下来我们基于这个假设，结合三角形内角和定理推导，寻找矛盾点即可完成证明。
【解析】
证明：假设$△ ABC$的三个内角都小于$60°$，
即$∠ A ＜ 60°$，$∠ B ＜ 60°$，$∠ C ＜ 60°$，
则$∠ A + ∠ B + ∠ C ＜ 60° + 60° + 60° = 180°$，
这与三角形内角和定理“三角形三个内角的和等于$180°$”相矛盾，
所以假设不成立，
故$△ ABC$的三个内角中至少有一个不小于$60°$。
【答案】
$△ ABC$的三个内角中至少有一个不小于$60°$得证。
【知识点】
反证法、三角形内角和定理
【点评】
本题是反证法的经典应用题型，对于含有“至少”这类表述的命题，反证法是较为简便的证明方法。解题关键在于准确找出原结论的反面，通过合理推导得出与已知定理的矛盾，进而验证原命题的正确性。
【难度系数】
0.6
要证明“三角形三个内角中至少有一个不小于60°”，适合采用反证法。反证法的核心思路是先否定原命题的结论，假设结论的反面成立，再通过逻辑推理推出与已知定理、公理矛盾的结果，从而说明假设不成立，原命题结论正确。具体来说，原结论“至少有一个不小于60°”的反面是“三个内角都小于60°”，接下来我们基于这个假设，结合三角形内角和定理推导，寻找矛盾点即可完成证明。
【解析】
证明：假设$△ ABC$的三个内角都小于$60°$，
即$∠ A ＜ 60°$，$∠ B ＜ 60°$，$∠ C ＜ 60°$，
则$∠ A + ∠ B + ∠ C ＜ 60° + 60° + 60° = 180°$，
这与三角形内角和定理“三角形三个内角的和等于$180°$”相矛盾，
所以假设不成立，
故$△ ABC$的三个内角中至少有一个不小于$60°$。
【答案】
$△ ABC$的三个内角中至少有一个不小于$60°$得证。
【知识点】
反证法、三角形内角和定理
【点评】
本题是反证法的经典应用题型，对于含有“至少”这类表述的命题，反证法是较为简便的证明方法。解题关键在于准确找出原结论的反面，通过合理推导得出与已知定理的矛盾，进而验证原命题的正确性。
【难度系数】
0.6
