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1. 下列方程组，其中是二元一次方程组的有
①$\begin{cases}2m - n = 1,\\m + n = 8.\end{cases}$ ②$\begin{cases}x - 2y = 0,\\3z + 2y = 8.\end{cases}$ ③$\begin{cases}x = 1,\\x + 2y = 5.\end{cases}$ ④$\begin{cases}3a + 2b = 1,\\a - b^{2} = 8.\end{cases}$
①③
.(填序号)①$\begin{cases}2m - n = 1,\\m + n = 8.\end{cases}$ ②$\begin{cases}x - 2y = 0,\\3z + 2y = 8.\end{cases}$ ③$\begin{cases}x = 1,\\x + 2y = 5.\end{cases}$ ④$\begin{cases}3a + 2b = 1,\\a - b^{2} = 8.\end{cases}$
答案
1. ①③
解析
【解析】
根据二元一次方程组的定义（由两个整式方程组成，含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的方程组），逐一分析：
①方程组含两个未知数m、n，每个方程都是一次整式方程，符合二元一次方程组定义；
②方程组含三个未知数x、y、z，是三元方程组，不符合；
③方程组含两个未知数x、y，两个方程都是一次整式方程，符合定义；
④第二个方程中未知数b的次数是2，是二次方程，不符合定义。
因此符合的是①③。
【答案】
①③
【知识点】
二元一次方程组的定义
【点评】
本题考查二元一次方程组的定义，解题关键是紧扣定义的要点：含有两个未知数、每个方程为一次整式方程、由两个方程组成，逐一判断即可。
【难度系数】
0.8
根据二元一次方程组的定义（由两个整式方程组成，含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的方程组），逐一分析：
①方程组含两个未知数m、n，每个方程都是一次整式方程，符合二元一次方程组定义；
②方程组含三个未知数x、y、z，是三元方程组，不符合；
③方程组含两个未知数x、y，两个方程都是一次整式方程，符合定义；
④第二个方程中未知数b的次数是2，是二次方程，不符合定义。
因此符合的是①③。
【答案】
①③
【知识点】
二元一次方程组的定义
【点评】
本题考查二元一次方程组的定义，解题关键是紧扣定义的要点：含有两个未知数、每个方程为一次整式方程、由两个方程组成，逐一判断即可。
【难度系数】
0.8
2. 在①$\begin{cases}x = 2,\\y = 1,\end{cases}$ ②$\begin{cases}x = 1,\\y = 1,\end{cases}$ ③$\begin{cases}x = -1,\\y = 4\end{cases}$这三对数值中， ______ 是方程$x + y = 3$的解， ______ 是方程$3x + 2y = 5$的解， ______ 是方程组$\begin{cases}x + y = 3,\\3x + 2y = 5\end{cases}$的解.(填序号)
答案
2. ①③ ②③ ③
解析
【解析】
判断一组数值是否为方程或方程组的解，可将数值代入对应等式，验证等式是否成立：
1. 对于方程$x + y = 3$：
代入①：$2+1=3$，等式成立，①是解；
代入②：$1+1=2≠3$，等式不成立，不是解；
代入③：$-1+4=3$，等式成立，③是解。
2. 对于方程$3x + 2y = 5$：
代入①：$3×2+2×1=8≠5$，等式不成立，不是解；
代入②：$3×1+2×1=5$，等式成立，②是解；
代入③：$3×(-1)+2×4=5$，等式成立，③是解。
3. 方程组的解需同时满足两个方程，只有③能使两个方程都成立，故③是方程组的解。
【答案】
①③ ②③ ③
【知识点】
二元一次方程的解，二元一次方程组的解，代入检验法
【点评】
本题考查二元一次方程及方程组解的定义，核心是利用代入检验法判断解，需明确：使方程（组）左右两边相等的未知数的值即为方程（组）的解。
【难度系数】
0.8
判断一组数值是否为方程或方程组的解，可将数值代入对应等式，验证等式是否成立：
1. 对于方程$x + y = 3$：
代入①：$2+1=3$，等式成立，①是解；
代入②：$1+1=2≠3$，等式不成立，不是解；
代入③：$-1+4=3$，等式成立，③是解。
2. 对于方程$3x + 2y = 5$：
代入①：$3×2+2×1=8≠5$，等式不成立，不是解；
代入②：$3×1+2×1=5$，等式成立，②是解；
代入③：$3×(-1)+2×4=5$，等式成立，③是解。
3. 方程组的解需同时满足两个方程，只有③能使两个方程都成立，故③是方程组的解。
【答案】
①③ ②③ ③
【知识点】
二元一次方程的解，二元一次方程组的解，代入检验法
【点评】
本题考查二元一次方程及方程组解的定义，核心是利用代入检验法判断解，需明确：使方程（组）左右两边相等的未知数的值即为方程（组）的解。
【难度系数】
0.8
3. 写出一个二元一次方程组 ______ ，使它的解是$\begin{cases}x = 1,\\y = -3.\end{cases}$
答案
3. $\begin{cases}x + y = -2,\\x - y = 4.\end{cases}$（答案不唯一）
解析
【解析】
将$\begin{cases}x = 1,\\y = -3\end{cases}$代入二元一次方程中构造满足条件的方程，例如计算$x+y=1+(-3)=-2$，$x-y=1-(-3)=4$，即可得到对应的二元一次方程组，答案不唯一，只要构造的方程组的解为$\begin{cases}x = 1,\\y = -3\end{cases}$即可。
【答案】
$\begin{cases}x + y = -2,\\x - y = 4\end{cases}$（答案不唯一）
【知识点】
二元一次方程组的解；构造二元一次方程组
【点评】
本题考查对二元一次方程组解的理解，解题核心是利用已知解构造符合要求的二元一次方程，答案具有开放性，只要代入给定解后方程成立即可。
【难度系数】
0.9
将$\begin{cases}x = 1,\\y = -3\end{cases}$代入二元一次方程中构造满足条件的方程，例如计算$x+y=1+(-3)=-2$，$x-y=1-(-3)=4$，即可得到对应的二元一次方程组，答案不唯一，只要构造的方程组的解为$\begin{cases}x = 1,\\y = -3\end{cases}$即可。
【答案】
$\begin{cases}x + y = -2,\\x - y = 4\end{cases}$（答案不唯一）
【知识点】
二元一次方程组的解；构造二元一次方程组
【点评】
本题考查对二元一次方程组解的理解，解题核心是利用已知解构造符合要求的二元一次方程，答案具有开放性，只要代入给定解后方程成立即可。
【难度系数】
0.9
4. 若关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}x + y = m,\\x - y = n\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 3,\\y = -1,\end{cases}$则$n^{m}=$ ______ .
答案
4. 16
解析
【解析】
将$\begin{cases}x = 3,\\y = -1\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}x + y = m,\\x - y = n\end{cases}$，
可得$m = 3 + (-1) = 2$，$n = 3 - (-1) = 4$，
则$n^m = 4^2 = 16$。
【答案】
16
【知识点】
二元一次方程组的解；有理数乘方
【点评】
本题考查二元一次方程组解的定义及有理数乘方运算，解题关键是将方程组的解代入原方程求出参数m、n的值，再进行乘方运算。
【难度系数】
0.9
将$\begin{cases}x = 3,\\y = -1\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}x + y = m,\\x - y = n\end{cases}$，
可得$m = 3 + (-1) = 2$，$n = 3 - (-1) = 4$，
则$n^m = 4^2 = 16$。
【答案】
16
【知识点】
二元一次方程组的解；有理数乘方
【点评】
本题考查二元一次方程组解的定义及有理数乘方运算，解题关键是将方程组的解代入原方程求出参数m、n的值，再进行乘方运算。
【难度系数】
0.9
5. 下列是方程组$\begin{cases}2x + y = 8,\\3x + 4y = 17\end{cases}$的解的是( )
A.$\begin{cases}x = 5,\\y = -2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 2,\\y = 4\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 1,\\y = 6\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 3,\\y = 2\end{cases}$
A.$\begin{cases}x = 5,\\y = -2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 2,\\y = 4\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 1,\\y = 6\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 3,\\y = 2\end{cases}$
答案
5. D
解析
【解析】
方法一：加减消元法
给方程$2x + y = 8$两边同时乘4，得$8x + 4y = 32$，
用该式减去$3x + 4y = 17$，得：
$8x + 4y - (3x + 4y) = 32 - 17$，
化简得$5x = 15$，解得$x = 3$，
将$x = 3$代入$2x + y = 8$，得$2×3 + y = 8$，解得$y = 2$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 3,\\y = 2\end{cases}$，对应选项D。
方法二：代入验证法
将各选项代入方程组：
A选项：代入$3x+4y=17$，$3×5+4×(-2)=7≠17$，不满足；
B选项：代入$3x+4y=17$，$3×2+4×4=22≠17$，不满足；
C选项：代入$3x+4y=17$，$3×1+4×6=27≠17$，不满足；
D选项：代入$2x+y=8$，$2×3+2=8$，满足；代入$3x+4y=17$，$3×3+4×2=17$，满足，故D是方程组的解。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的求解，代入验证法
【点评】
本题考查二元一次方程组解的判定，可通过解方程组或代入验证两种方法求解，属于基础题型，帮助学生巩固二元一次方程组的解法及解的概念。
【难度系数】
0.8
方法一：加减消元法
给方程$2x + y = 8$两边同时乘4，得$8x + 4y = 32$，
用该式减去$3x + 4y = 17$，得：
$8x + 4y - (3x + 4y) = 32 - 17$，
化简得$5x = 15$，解得$x = 3$，
将$x = 3$代入$2x + y = 8$，得$2×3 + y = 8$，解得$y = 2$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 3,\\y = 2\end{cases}$，对应选项D。
方法二：代入验证法
将各选项代入方程组：
A选项：代入$3x+4y=17$，$3×5+4×(-2)=7≠17$，不满足；
B选项：代入$3x+4y=17$，$3×2+4×4=22≠17$，不满足；
C选项：代入$3x+4y=17$，$3×1+4×6=27≠17$，不满足；
D选项：代入$2x+y=8$，$2×3+2=8$，满足；代入$3x+4y=17$，$3×3+4×2=17$，满足，故D是方程组的解。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的求解，代入验证法
【点评】
本题考查二元一次方程组解的判定，可通过解方程组或代入验证两种方法求解，属于基础题型，帮助学生巩固二元一次方程组的解法及解的概念。
【难度系数】
0.8
6. 一组同学参加植树活动，如果每人种$5$棵，还剩下$3$棵树苗；如果每人种$6$棵，缺少$5$棵树苗.设共有$x$名学生，树苗共有$y$棵.根据题意可列方程组(
A.$\begin{cases}5x = y + 3,\\6x = y - 5\end{cases}$
B.$\begin{cases}5x = y + 3,\\6x = y + 5\end{cases}$
C.$\begin{cases}5x = y - 3,\\6x = y - 5\end{cases}$
D.$\begin{cases}5x = y - 3,\\6x = y + 5\end{cases}$
D
)A.$\begin{cases}5x = y + 3,\\6x = y - 5\end{cases}$
B.$\begin{cases}5x = y + 3,\\6x = y + 5\end{cases}$
C.$\begin{cases}5x = y - 3,\\6x = y - 5\end{cases}$
D.$\begin{cases}5x = y - 3,\\6x = y + 5\end{cases}$
答案
6. D
解析
【解析】
根据题意分析：
1. 若每人种5棵，还剩下3棵树苗，可得树苗总数$y = 5x + 3$，整理为$5x = y - 3$；
2. 若每人种6棵，缺少5棵树苗，可得树苗总数$y = 6x - 5$，整理为$6x = y + 5$。
因此可列方程组$\begin{cases}5x = y - 3,\\6x = y + 5\end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的应用；根据实际问题列方程组
【点评】
本题考查根据实际问题列二元一次方程组，关键是理解“剩余”“缺少”对应的数量关系，准确找出学生人数与树苗总数间的等量关系，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
根据题意分析：
1. 若每人种5棵，还剩下3棵树苗，可得树苗总数$y = 5x + 3$，整理为$5x = y - 3$；
2. 若每人种6棵，缺少5棵树苗，可得树苗总数$y = 6x - 5$，整理为$6x = y + 5$。
因此可列方程组$\begin{cases}5x = y - 3,\\6x = y + 5\end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的应用；根据实际问题列方程组
【点评】
本题考查根据实际问题列二元一次方程组，关键是理解“剩余”“缺少”对应的数量关系，准确找出学生人数与树苗总数间的等量关系，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
