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已知一次函数$ y = kx + b $的图象与直线$ y = x $平行，且过点$(1,2)$，那么它必过点()
A.$( - 1,0)$
B.$(2, - 1)$
C.$(2,1)$
D.$(0, - 1)$
A.$( - 1,0)$
B.$(2, - 1)$
C.$(2,1)$
D.$(0, - 1)$
答案
A
解析
一次函数 $y = kx + b$ 的图象与直线 $y = x$ 平行，说明斜率相同，即 $k = 1$。
将点 $(1, 2)$ 代入 $y = x + b$，得到 $2 = 1 + b$，解得 $b = 1$。
因此一次函数解析式为 $y = x + 1$。
验证各选项：
A. $(-1, 0)$：$-1 + 1 = 0$，符合；
B. $(2, -1)$：$2 + 1 = 3 ≠ -1$，不符合；
C. $(2, 1)$：$2 + 1 = 3 ≠ 1$，不符合；
D. $(0, -1)$：$0 + 1 = 1 ≠ -1$，不符合。
1. 已知一次函数$ y = kx + b $的图象经过$ M(0,2) $，$ N(1,3) $两点，则$ k $，$ b $的值分别为()
A.$ - 1 $，$ - 2 $
B.$ 1 $，$ 2 $
C.$ - 2 $，$ - 1 $
D.$ 2 $，$ 1 $
A.$ - 1 $，$ - 2 $
B.$ 1 $，$ 2 $
C.$ - 2 $，$ - 1 $
D.$ 2 $，$ 1 $
答案
B
解析
已知函数 $y = kx + b$ 的图象经过点 $M(0, 2)$，代入得：
$2 = k · 0 + b$，
解得：$b = 2$。
函数图象又经过点 $N(1, 3)$，代入得：
$3 = k · 1 + b$，
将 $b = 2$ 代入，解得：
$k = 1$。
因此，$k = 1$，$b = 2$。
2. 直线$ y = kx + b $与直线$ y = - 2x + 2026 $平行，且与$ y $轴交于点$ P(0, - 3) $，则其函数解析式是()
A.$ y = 2x + 2026 $
B.$ y = - 2x - 3 $
C.$ y = 2x + 3 $
D.$ y = - 2x - 2026 $
A.$ y = 2x + 2026 $
B.$ y = - 2x - 3 $
C.$ y = 2x + 3 $
D.$ y = - 2x - 2026 $
答案
B
解析
已知直线 $y = kx + b$ 与直线 $y = -2x + 2026$ 平行，因此斜率相同，即 $k = -2$。
直线与 $y$ 轴交于点 $P(0, -3)$，代入解析式得：$b = -3$。
故函数解析式为 $y = -2x - 3$。
直线与 $y$ 轴交于点 $P(0, -3)$，代入解析式得：$b = -3$。
故函数解析式为 $y = -2x - 3$。
3. 如图①，动点$ P $从菱形$ ABCD $的顶点$ A $出发，沿$ A \to C \to D $以$ 1$cm/s 的速度运动到点$ D $。设点$ P $的运动时间为$ x $(单位：s)，$△ PAB$的面积为$ y $(单位：$\mathrm{cm}^2$)。表示$ y $与$ x $的函数关系的图象如图②所示，则$ a $的值为()
A.$ \sqrt{5} $
B.$ \dfrac{5}{2} $
C.$ 2 $
D.$ 2\sqrt{5} $
A.$ \sqrt{5} $
B.$ \dfrac{5}{2} $
C.$ 2 $
D.$ 2\sqrt{5} $
答案
B
解析
由题意，动点P从A沿A→C→D运动，速度1cm/s。图②中第一段x从0到√5，对应P在AC上运动，故AC=√5 cm。此时△PAB面积随x增大而增大，P到C时面积最大为a，即△CAB面积=a。
第二段x从√5到a+√5，对应P在CD上运动，运动时间为a秒，故CD=a，即菱形边长AB=BC=CD=DA=a。
设菱形对角线AC=√5，BD=2b，交于O。则AO=√5/2，BO=b，由勾股定理：a²=(√5/2)²+b²=5/4 + b²。
△CAB面积=1/2×AC×BO=1/2×√5×b=a，即√5 b=2a，得b=2a/√5。
代入勾股定理：a²=5/4 + (2a/√5)²，化简得a²/5=5/4，解得a=5/2。
第二段x从√5到a+√5，对应P在CD上运动，运动时间为a秒，故CD=a，即菱形边长AB=BC=CD=DA=a。
设菱形对角线AC=√5，BD=2b，交于O。则AO=√5/2，BO=b，由勾股定理：a²=(√5/2)²+b²=5/4 + b²。
△CAB面积=1/2×AC×BO=1/2×√5×b=a，即√5 b=2a，得b=2a/√5。
代入勾股定理：a²=5/4 + (2a/√5)²，化简得a²/5=5/4，解得a=5/2。
4. 已知直线$ y = kx + b $($ k $，$ b $是常数)经过点$(1,1)$，且$ y $随$ x $的增大而减小，请写出一个符合条件的直线解析式：。
答案
$y=-x+2$（答案不唯一，只要$k＜0$且满足$b=1 - k$即可）
解析
因为直线$y = kx + b$经过点$(1,1)$，所以将点代入可得$1 = k×1 + b$，即$b = 1 - k$。又因为$y$随$x$的增大而减小，所以$k ＜ 0$。取$k = -1$，则$b = 1 - (-1) = 2$，所以直线解析式可以是$y = -x + 2$。
5. 若一次函数$ y = bx + 2 $的图象经过点$ A( - 1,1) $，则$ b = $。
答案
$1$
解析
已知一次函数 $y = bx + 2$ 的图象经过点 $A(-1, 1)$，将点 $A$ 的坐标代入函数解析式，有：
$1 = b × (-1) + 2$，
解这个方程，得到：
$1 = -b + 2$，
$b = 1$。
$1 = b × (-1) + 2$，
解这个方程，得到：
$1 = -b + 2$，
$b = 1$。
6. 已知一次函数$ y = kx - k + 4 $的图象与$ y $轴的交点坐标是$(0, - 2)$，那么这个一次函数的解析式是$ y = $。
答案
6x - 2
解析
因为一次函数$y = kx - k + 4$的图象与$y$轴的交点坐标是$(0, - 2)$，所以将$x=0$，$y=-2$代入函数得：$-2 = k×0 - k + 4$，即$-2 = -k + 4$，解得$k = 6$。所以一次函数解析式为$y = 6x - 6 + 4 = 6x - 2$。
7. 若一次函数$ y = kx + b $，当$ - 3 ≤ x ≤ 1 $时，对应的$ y $值为$ 1 ≤ y ≤ 9 $，则一次函数的解析式为。
答案
情况一：k＞0时，函数单调递增。
由题意得：当x=-3时，y=1；当x=1时，y=9。
代入y=kx+b得：
$\begin{cases}-3k+b=1\\k+b=9\end{cases}$
解得：$\begin{cases}k=2\\b=7\end{cases}$
此时解析式为y=2x+7。
情况二：k＜0时，函数单调递减。
由题意得：当x=-3时，y=9；当x=1时，y=1。
代入y=kx+b得：
$\begin{cases}-3k+b=9\\k+b=1\end{cases}$
解得：$\begin{cases}k=-2\\b=3\end{cases}$
此时解析式为y=-2x+3。
综上，一次函数解析式为y=2x+7或y=-2x+3。
由题意得：当x=-3时，y=1；当x=1时，y=9。
代入y=kx+b得：
$\begin{cases}-3k+b=1\\k+b=9\end{cases}$
解得：$\begin{cases}k=2\\b=7\end{cases}$
此时解析式为y=2x+7。
情况二：k＜0时，函数单调递减。
由题意得：当x=-3时，y=9；当x=1时，y=1。
代入y=kx+b得：
$\begin{cases}-3k+b=9\\k+b=1\end{cases}$
解得：$\begin{cases}k=-2\\b=3\end{cases}$
此时解析式为y=-2x+3。
综上，一次函数解析式为y=2x+7或y=-2x+3。
8. 如图，一次函数$ y = kx + b $的图象经过$ A(3,6) $，$ B(0,3) $两点，交$ x $轴于点$ C $，则$△ AOC$的面积为。
答案
因为一次函数$y = kx + b$的图象经过$A(3,6)$，$B(0,3)$两点，
将$B(0,3)$代入$y = kx + b$，得$3 = k×0 + b$，所以$b = 3$。
将$A(3,6)$和$b = 3$代入$y = kx + b$，得$6 = 3k + 3$，解得$k = 1$。
所以一次函数的解析式为$y = x + 3$。
令$y = 0$，则$0 = x + 3$，解得$x = - 3$，所以点$C$的坐标为$(-3,0)$。
所以$OC = | - 3| = 3$，点$A$到$x$轴的距离为$6$。
$△ AOC$的面积为$\frac{1}{2}×OC×6 = \frac{1}{2}×3×6 = 9$。
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将$B(0,3)$代入$y = kx + b$，得$3 = k×0 + b$，所以$b = 3$。
将$A(3,6)$和$b = 3$代入$y = kx + b$，得$6 = 3k + 3$，解得$k = 1$。
所以一次函数的解析式为$y = x + 3$。
令$y = 0$，则$0 = x + 3$，解得$x = - 3$，所以点$C$的坐标为$(-3,0)$。
所以$OC = | - 3| = 3$，点$A$到$x$轴的距离为$6$。
$△ AOC$的面积为$\frac{1}{2}×OC×6 = \frac{1}{2}×3×6 = 9$。
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