1. 下列说法正确的是()

A.多边形边数每增加$1$，内角和增加$180^{\circ}$
B.多边形边数每增加$1$，内角和增加$360^{\circ}$
C.每个角都相等的多边形是正多边形
D.每条边都相等的多边形是正多边形

A

多边形的内角和公式为$(n - 2) × 180^{\circ}$（$n$为边数且$n≥ 3$且$n$为整数），当边数增加$1$变成$n + 1$时，内角和为$(n + 1 - 2)×180^{\circ}=(n - 1)×180^{\circ}$，那么内角和增加了$(n - 1)×180^{\circ}-(n - 2)×180^{\circ}=180^{\circ}$；每个角都相等的多边形不一定是正多边形，例如矩形的四个角都相等，但矩形不是正多边形；每条边都相等的多边形也不一定是正多边形，例如菱形的四条边都相等，但菱形不是正多边形。

2. 如图，已知$△ ABC$为直角三角形，$∠C = 90^{\circ}$。若沿图中虚线剪去$∠C$，则$∠1 + ∠2 =$。

270°

在直角三角形$△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，则$∠A + ∠B = 180^{\circ}-∠C=90^{\circ}$。沿虚线剪去$∠C$后，形成一个四边形，四边形内角和为$360^{\circ}$，其中$∠1$和$∠2$是四边形的两个内角，另外两个内角分别为$∠A$和$∠B$的邻补角，即$180^{\circ}-∠A$和$180^{\circ}-∠B$。所以$∠1 + ∠2 + (180^{\circ}-∠A) + (180^{\circ}-∠B) = 360^{\circ}$，化简得$∠1 + ∠2 = ∠A + ∠B + 180^{\circ}=90^{\circ}+180^{\circ}=270^{\circ}$。

3. 如图，六边形$ABCDEF$是正六边形，直线$a$与边$DE$交于点$M$，直线$b$与边$CD$交于点$N$，且$a // b$。若$∠1 = 54^{\circ}$，则$∠2 =$。

114°

4. 如图，在五边形$ABCDE$中，$AP$平分$∠EAB$，且$AP // DE$，交$CD$于点$P$。若$∠C = 100^{\circ}$，$∠D = 75^{\circ}$，$∠E = 135^{\circ}$，求$∠B$的度数。

∵AP//DE，∠E=135°，
∴∠E+∠EAP=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠EAP=180°-∠E=180°-135°=45°.
∵AP平分∠EAB，
∴∠EAB=2∠EAP=2×45°=90°.
五边形内角和为(5-2)×180°=540°，
∴∠EAB+∠B+∠C+∠D+∠E=540°.
∵∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，∠EAB=90°，
∴90°+∠B+100°+75°+135°=540°，
解得∠B=540°-400°=140°.
∠B的度数为140°

5. 提升题 阅读小东和小兰的对话，解答下列问题。
小东：“我把一个多边形的各内角相加，得到的和为$1100^{\circ}$。”
小兰：“多边形的内角和不可能是$1100^{\circ}$，你一定是多加了一个锐角。”
(1)①这个“多加的锐角”的度数是；
②小东求的是边形的内角和。
(2)若这是个正多边形，求这个正多边形的一个内角是多少度。
(3)小东将一个正六边形与一个正八边形按图示位置摆放，顶点$A$，$B$，$C$，$D$在同一条直线上，$F$为公共顶点，试求$∠EFG$的度数。

(1)①设多边形边数为$n$，多加的锐角为$x(0° ＜ x ＜ 90°)$，则内角和为$(n-2)×180° = 1100° - x$。$1100÷180=6······20$，故$(n-2)×180°=1080°$，$n=8$，$x=1100° - 1080°=20°$。答案：20°。②8。
(2)正八边形内角和$(8-2)×180°=1080°$，一个内角$1080°÷8=135°$。答案：135°。
(3)正六边形内角$120°$，正八边形内角$135°$。A,B,C,D共线，$∠ BFC=180°$-∠FBC-∠FCB=75°
∴$∠ EFG=360°-∠EFB-∠GFC-∠BFC$=360°-120°-75°=30°。答案：30°。