15. (★★)如图,$CB⊥ AD$,$AE⊥ DC$,垂足分
别为$B$,$E$,$AE$与$BC$相交于点$F$,且$AB=BC$。
试说明:$△ ABF≌△ CBD$。

15. 因为CB⊥AD,
所以∠ABC=∠CBD=90°。
所以∠C+∠D=90°。
因为AE⊥DC,
所以∠A+∠D=90°。
所以∠A=∠C。
在△ABF和△CBD中,
∠A=∠C,AB=CB,∠ABF=∠CBD,
所以△ABF≅△CBD(ASA)。

16. (★)如图,这是作$△ ABC$的痕迹,则此
作图的已知条件是 【 】


A.已知两边及其夹角
B.已知三边
C.已知两角及其夹边
D.已知两边及其中一边的对角

16. C

17. (★★★)如图①,在$△ ABC$中,$∠ACB=$
$90°$,$AC=BC$,过点$C$在$△ ABC$外作直线$MN$,
$AM⊥ MN$于点$M$,$BN⊥ MN$于点$N$。
(1)试说明:$MN=AM+BN$。
(2)如图②,若过点$C$作直线$MN$与线段
$AB$相交,$AM⊥ MN$于点$M$,$BN⊥ MN$于点$N$,$AM＞BN$,(1)中的结论是否仍然成立? 若成
立,请说明理由;若不成立,请写出正确的结
论,并说明理由。

17. (1)因为AM⊥MN于点M,BN⊥MN于点N,
所以∠AMC=∠CNB=90°。
所以∠MAC+∠ACM=90°。
因为∠ACB=90°,
所以∠ACM+∠NCB=90°。
所以∠MAC=∠NCB。
在△ACM和△CBN中,
∠AMC=∠CNB,∠MAC=∠NCB,AC=CB,
所以△ACM≅△CBN(AAS)。
所以AM=CN,CM=BN。
所以MN=MC+CN=AM+BN。
(2)(1)中的结论不成立,MN与AM,BN之间
的数量关系为MN=AM-BN。
理由如下:
因为AM⊥MN于点M,BN⊥MN于点N,
所以∠AMC=∠CNB=90°。
所以∠MAC+∠ACM=90°。
因为∠ACB=90°,
所以∠ACM+∠NCB=90°。
所以∠MAC=∠NCB。
在△ACM和△CBN中,
∠AMC=∠CNB,∠MAC=∠NCB,AC=CB,
所以△ACM≅△CBN(AAS)。
所以AM=CN,CM=BN。
所以MN=CN-CM=AM-BN。