1. 在 $ △ A B C $中， $ ∠ A=∠ B $ ，若添加一个条件使 $ △ A B C $是等边三角形，则添加的条件可以是_______。（写出一个即可）

1. $∠ B=60°$(答案不唯一)

2. 如图 1-2-12 $ \textcircled{1} $ ，桔槔俗称“吊杆”，是我国古代农用工具，也是一种利用杠杆原理的取水机械，桔槔示意图如图 1-2-12 $ \textcircled{2} $所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆， $ OM=3 $ m，AB是杠杆， $ AB=6 $ m， $ OA:OB=2:1 $ ，当点 A位于最高点时， $ ∠ A O M=1 2 0° $ ，此时，点 A到地面的距离为_______。

2. $5\ \mathrm{m}$

3. 如图1-2-13，将三角形纸片 $ △ A B C $和 $ △ B C D $拼在一起，其中 $ ∠ A B C=∠ B D C=9 0° $ $ ∠ A=6 0° $ $ ∠ D B C=4 5° $ ，E为AC的中点，将 $ △ A B E $沿BE翻折得到 $ △ A^{\prime} B E $ ，连接 DE。若 $ B C=2 \sqrt{3} $ ，则 DE=___。

3. $\sqrt{3}-1$

4. 如图1-2-14，在Rt $ △ A B C $中， $ ∠ A C B=90° $ $ ∠ A=30° $ D是AB的中点，E为AC上一点，连接CD，DE，以DE为边在DE的左侧作等边三角形DEF，连接BF。
(1) 求证： $ △ B C D $为等边三角形；
(2) 求证： $ ∠ D B F=∠ D C E。 $

4. 证明：(1)$\because ∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，
$\therefore ∠ ABC=90°-∠ A=90°-30°=60°$，
$BC=\dfrac{1}{2}AB$。
$\because D$是$AB$的中点，$\therefore BD=\dfrac{1}{2}AB$。
$\therefore BC=BD$。$\therefore △ BCD$为等腰三角形。
又$\because ∠ CBD=60°$，$\therefore △ BCD$为等边三角形。
(2)由(1)可知$△ BCD$为等边三角形，
$\therefore BD=CD$，$∠ BDC=60°$。
$\because △ DEF$为等边三角形，
$\therefore DE=DF$，$∠ EDF=60°$。
$\therefore ∠ BDC=∠ EDF$。
$\therefore ∠ BDC-∠ CDF=∠ EDF-∠ CDF$，
即$∠ BDF=∠ CDE$。
在$△ BDF$和$△ CDE$中，
$\because BD=CD$，$∠ BDF=∠ CDE$，$DF=DE$，
$\therefore △ BDF≌△ CDE(\mathrm{SAS})$。
$\therefore ∠ DBF=∠ DCE$。