【例1】一个圆柱形管件,其横截面如图所示,管内存有一些水(阴影部分),测得水面宽$AB= 6\ cm$,水的最大深度$CD= 1\ cm$,则此管件的直径为______cm.
答案
10
解析
设圆柱形管件的半径为$r$cm，圆心为$O$。连接$OA$，$OC$垂直于$AB$于点$D$，则$AD = \frac{AB}{2} = 3$cm，$OD = r - CD = (r - 1)$cm。在$Rt\triangle AOD$中，由勾股定理得$OA^2 = AD^2 + OD^2$，即$r^2 = 3^2 + (r - 1)^2$，解得$r = 5$，所以直径为$2r = 10$cm。
10
10
【变式】建设中的“某高速”是重要通道,建成后将极大改善区域内交通运输条件,并对沿途各县的经济发展有极大的促进作用,如图,这是其中一个在建隧道的横截面,它的形状是以点$O$为圆心的圆的一部分,若$M是\odot O中弦CD$的中点,$EM经过圆心O交\odot O于点E$,且$CD= 8\ m$,$EM= 8\ m$,则$\odot O$的半径为______m.
答案
5
解析
设$\odot O$的半径为$r\ m$，则$OE=OC=r\ m$。
因为$M$是弦$CD$的中点，$EM$经过圆心$O$，所以$EM \perp CD$，$CM=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2}×8 = 4\ m$。
又因为$EM = 8\ m$，所以$OM=EM - OE=(8 - r)\ m$。
在$Rt\triangle OCM$中，由勾股定理得$OC^{2}=CM^{2}+OM^{2}$，即$r^{2}=4^{2}+(8 - r)^{2}$。
展开得$r^{2}=16 + 64 - 16r + r^{2}$，移项化简得$16r=80$，解得$r = 5$。
5
因为$M$是弦$CD$的中点，$EM$经过圆心$O$，所以$EM \perp CD$，$CM=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2}×8 = 4\ m$。
又因为$EM = 8\ m$，所以$OM=EM - OE=(8 - r)\ m$。
在$Rt\triangle OCM$中，由勾股定理得$OC^{2}=CM^{2}+OM^{2}$，即$r^{2}=4^{2}+(8 - r)^{2}$。
展开得$r^{2}=16 + 64 - 16r + r^{2}$，移项化简得$16r=80$，解得$r = 5$。
5
【例2】如图,将半径为12的$\odot O沿AB$折叠,$\overset{\frown}{AB}恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D$,则折痕$AB$的长为( )
A.$3\sqrt{15}$
B.$4\sqrt{15}$
C.$6\sqrt{15}$
D.12
A.$3\sqrt{15}$
B.$4\sqrt{15}$
C.$6\sqrt{15}$
D.12
答案
C
解析
连接OA，设折叠后点D的对应点为D'，由折叠性质知OD'=OD，AB垂直平分DD'。
∵OC⊥AB，OC为半径，OC=12，D为OC中点，
∴OD=6，OD'=6，OO'=OC-OD'=6（O'为D'所在圆的圆心，即原圆心O关于AB的对称点）。
设AB与OC交于点E，设OE=x，则O'E=OE=x，OO'=2x=6，
∴x=3，即OE=3。
在Rt△OEA中，OA=12，OE=3，由勾股定理得AE=$\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{12^2-3^2}=\sqrt{135}=3\sqrt{15}$。
∵AB=2AE，
∴AB=6\sqrt{15}。
C
∵OC⊥AB，OC为半径，OC=12，D为OC中点，
∴OD=6，OD'=6，OO'=OC-OD'=6（O'为D'所在圆的圆心，即原圆心O关于AB的对称点）。
设AB与OC交于点E，设OE=x，则O'E=OE=x，OO'=2x=6，
∴x=3，即OE=3。
在Rt△OEA中，OA=12，OE=3，由勾股定理得AE=$\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{12^2-3^2}=\sqrt{135}=3\sqrt{15}$。
∵AB=2AE，
∴AB=6\sqrt{15}。
C
【变式】如图,$AB是\odot O$的弦,点$P在弦AB$上,$PA= 4$,$PB= 2$,$OP= \sqrt{17}$,则$\odot O$的半径为( )
A.5
B.$3\sqrt{2}$
C.4
D.$\sqrt{17}$
A.5
B.$3\sqrt{2}$
C.4
D.$\sqrt{17}$
答案
A 【解析】过点O作OH⊥AB于H，连结OA，
∴AH= $\frac{1}{2}$AB.
∵PA=4，PB=2，
∴AB=4+2=6，
∴AH=3，
∴PH=AP - AH=4 - 3=1.
∵OP= $\sqrt{17}$，
∴OH= $\sqrt{OP^2 - PH^2}$=4，
∴OA= $\sqrt{AH^2 + OH^2}$=5.
∴⊙O的半径长是5.
【例3】如图,$AB,CD是\odot O$的两条平行弦,$MN是AB$的垂直平分线.求证：$MN垂直平分CD$.
答案
证明：
∵MN是AB的垂直平分线，
∴MN过圆心O，
∵AB//CD，
∴MN⊥CD，
∴MN垂直平分CD.
∵MN是AB的垂直平分线，
∴MN过圆心O，
∵AB//CD，
∴MN⊥CD，
∴MN垂直平分CD.
【变式】如图,在$\odot O$中,$AB,BC$为互相垂直且相等的两条弦,$OD\perp AB$,$OE\perp BC$,垂足分别为$D,E$,求证：四边形$ODBE$是正方形.
答案
证明：
∵OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，AB⊥BC，
∴BD= $\frac{1}{2}$AB，BE= $\frac{1}{2}$BC，∠BDO=∠B=∠OEB=90°.
∴四边形ODBE是矩形.
∵AB=BC，
∴BD=BE，
∴四边形ODBE是正方形.
∵OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，AB⊥BC，
∴BD= $\frac{1}{2}$AB，BE= $\frac{1}{2}$BC，∠BDO=∠B=∠OEB=90°.
∴四边形ODBE是矩形.
∵AB=BC，
∴BD=BE，
∴四边形ODBE是正方形.
