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1. 下列各式：$\frac{7}{a}$，$\frac{a + b}{2}$，$\frac{x^{2} + y^{2}}{x + y}$，$4 - \frac{x}{3}$中，分式共有()
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
B
解析
根据分式的定义（形如$\frac{A}{B}$，A、B为整式且B中含有字母的式子），逐一分析：
1. $\frac{7}{a}$：分母含字母，是分式；
2. $\frac{a + b}{2}$：分母为常数，是整式；
3. $\frac{x^{2} + y^{2}}{x + y}$：分母含字母，是分式；
4. $4 - \frac{x}{3}$：分母为常数，是整式。
综上，分式共有2个。
1. $\frac{7}{a}$：分母含字母，是分式；
2. $\frac{a + b}{2}$：分母为常数，是整式；
3. $\frac{x^{2} + y^{2}}{x + y}$：分母含字母，是分式；
4. $4 - \frac{x}{3}$：分母为常数，是整式。
综上，分式共有2个。
2. 若分式$\frac{x^{2} - 4}{x + 2}$的值为 0，则$x$的值为()
A.2 或$-2$
B.2
C.$-2$
D.0
A.2 或$-2$
B.2
C.$-2$
D.0
答案
B
解析
要使分式$\frac{x^2 - 4}{x + 2}$的值为0，需满足分子为0且分母不为0。
1. 令分子$x^2 - 4 = 0$，因式分解得$(x-2)(x+2)=0$，解得$x=2$或$x=-2$；
2. 分母$x+2≠0$，即$x≠-2$；
3. 综上，$x$的值为2。
1. 令分子$x^2 - 4 = 0$，因式分解得$(x-2)(x+2)=0$，解得$x=2$或$x=-2$；
2. 分母$x+2≠0$，即$x≠-2$；
3. 综上，$x$的值为2。
3. 如果把分式$\frac{2x}{x + y}$中的$x$和$y$都扩大到原来的 2 倍，那么分式的值()
A.扩大 2 倍
B.不变
C.缩小$\frac{1}{2}$
D.扩大 4 倍
A.扩大 2 倍
B.不变
C.缩小$\frac{1}{2}$
D.扩大 4 倍
答案
B
解析
将x和y都扩大到原来的2倍，代入原分式得$\frac{2×2x}{2x+2y}=\frac{4x}{2(x+y)}=\frac{2x}{x+y}$，与原分式相等，因此分式的值不变。
4. 当$x$时，分式$\frac{x + 1}{x - 3}$有意义；当$x$时，分式$\frac{x}{2x - 3}$无意义.
答案
$≠ 3$；$= \frac{3}{2}$
解析
分式有意义的条件是分母不为0，分式无意义的条件是分母为0。
1. 对于分式$\frac{x + 1}{x - 3}$，令分母$x - 3 ≠ 0$，解得$x ≠ 3$；
2. 对于分式$\frac{x}{2x - 3}$，令分母$2x - 3 = 0$，解得$x = \frac{3}{2}$。
1. 对于分式$\frac{x + 1}{x - 3}$，令分母$x - 3 ≠ 0$，解得$x ≠ 3$；
2. 对于分式$\frac{x}{2x - 3}$，令分母$2x - 3 = 0$，解得$x = \frac{3}{2}$。
5. 已知分式$\frac{2x - 3}{2 - 3x}$，当$x =$时，分式的值为 0；当$x =$时，分式的值为$-1$.
答案
$\frac{3}{2}$；$-1$
解析
1. 求分式值为0时的$x$：
根据分式值为0的条件（分子为0且分母不为0），令分子$2x - 3 = 0$，解得$x = \frac{3}{2}$；
验证分母：当$x = \frac{3}{2}$时，$2 - 3x = 2 - 3×\frac{3}{2} = -\frac{5}{2} ≠ 0$，符合条件。
2. 求分式值为$-1$时的$x$：
令$\frac{2x - 3}{2 - 3x} = -1$，两边同乘$2 - 3x$（$2 - 3x ≠ 0$），得$2x - 3 = -(2 - 3x)$；
整理得：$2x - 3 = -2 + 3x$，移项解得$x = -1$；
验证分母：当$x = -1$时，$2 - 3x = 2 - 3×(-1) = 5 ≠ 0$，符合条件。
根据分式值为0的条件（分子为0且分母不为0），令分子$2x - 3 = 0$，解得$x = \frac{3}{2}$；
验证分母：当$x = \frac{3}{2}$时，$2 - 3x = 2 - 3×\frac{3}{2} = -\frac{5}{2} ≠ 0$，符合条件。
2. 求分式值为$-1$时的$x$：
令$\frac{2x - 3}{2 - 3x} = -1$，两边同乘$2 - 3x$（$2 - 3x ≠ 0$），得$2x - 3 = -(2 - 3x)$；
整理得：$2x - 3 = -2 + 3x$，移项解得$x = -1$；
验证分母：当$x = -1$时，$2 - 3x = 2 - 3×(-1) = 5 ≠ 0$，符合条件。
6. 填空：$\frac{2x}{x - y} = \frac{(\ )}{(x - y)(x + y)}$；化简：$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 6x + 9} =$.
答案
$2x^2+2xy$；$\frac{x+3}{x-3}$
解析
1. 对于分式$\frac{2x}{x - y}$，根据分式的基本性质，分母乘$(x+y)$（$x+y≠0$），分子也需乘$(x+y)$，计算得$2x·(x+y)=2x^2+2xy$；
2. 化简$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 6x + 9}$：先因式分解，分子$x^2-9=(x+3)(x-3)$，分母$x^2-6x+9=(x-3)^2$，约去公因式$(x-3)$，得$\frac{x+3}{x-3}$。
2. 化简$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 6x + 9}$：先因式分解，分子$x^2-9=(x+3)(x-3)$，分母$x^2-6x+9=(x-3)^2$，约去公因式$(x-3)$，得$\frac{x+3}{x-3}$。
7. 分式$\frac{1}{2x^{3}y}$，$\frac{4}{3x^{2}}$与$\frac{5}{4xy}$的最简公分母是.
答案
$12x^3y$
解析
1. 求各分母系数的最小公倍数：2、3、4的最小公倍数是12；
2. 确定相同字母的最高次幂：x的最高次幂是$x^3$，y的最高次幂是$y$；
3. 将系数与各字母最高次幂相乘，得到最简公分母为$12x^3y$。
2. 确定相同字母的最高次幂：x的最高次幂是$x^3$，y的最高次幂是$y$；
3. 将系数与各字母最高次幂相乘，得到最简公分母为$12x^3y$。
8. 甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距$S$km，若一艘游轮在静水中航行的速度为$a$km/h，水流速度为$b$km/h($b ＜ a$)，则该游轮往返两港口所需时间相差h.
答案
解：
游轮顺流航行的速度为$(a+b)$km/h，顺流航行时间为$\frac{S}{a+b}$h；
游轮逆流航行的速度为$(a-b)$km/h，逆流航行时间为$\frac{S}{a-b}$h；
往返时间差为：
$\frac{S}{a-b} - \frac{S}{a+b}$
$= \frac{S(a+b) - S(a-b)}{(a-b)(a+b)}$
$= \frac{Sa + Sb - Sa + Sb}{a^2 - b^2}$
$= \frac{2Sb}{a^2 - b^2}$
答：该游轮往返两港口所需时间相差$\frac{2Sb}{a^2 - b^2}$h。
游轮顺流航行的速度为$(a+b)$km/h，顺流航行时间为$\frac{S}{a+b}$h；
游轮逆流航行的速度为$(a-b)$km/h，逆流航行时间为$\frac{S}{a-b}$h；
往返时间差为：
$\frac{S}{a-b} - \frac{S}{a+b}$
$= \frac{S(a+b) - S(a-b)}{(a-b)(a+b)}$
$= \frac{Sa + Sb - Sa + Sb}{a^2 - b^2}$
$= \frac{2Sb}{a^2 - b^2}$
答：该游轮往返两港口所需时间相差$\frac{2Sb}{a^2 - b^2}$h。
9. 计算：
（1）$(-\frac{2}{3}a^{7}b^{5}) ÷ \frac{3}{2}a^{5}b^{5}$；
（2）$a + 2 - \frac{4}{2 - a}$.
（1）$(-\frac{2}{3}a^{7}b^{5}) ÷ \frac{3}{2}a^{5}b^{5}$；
（2）$a + 2 - \frac{4}{2 - a}$.
答案
解：（1）$(-\frac{2}{3}a^{7}b^{5}) ÷ \frac{3}{2}a^{5}b^{5}$
$= -\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×a^{7-5}×b^{5-5}$
$= -\frac{4}{9}a^{2}×1$
$= -\frac{4}{9}a^{2}$
（2）$a + 2 - \frac{4}{2 - a}$
$= \frac{(a+2)(2-a)}{2-a} - \frac{4}{2-a}$
$= \frac{4 - a^2 - 4}{2 - a}$
$= \frac{-a^2}{2 - a}$
$= \frac{a^2}{a - 2}$
$= -\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×a^{7-5}×b^{5-5}$
$= -\frac{4}{9}a^{2}×1$
$= -\frac{4}{9}a^{2}$
（2）$a + 2 - \frac{4}{2 - a}$
$= \frac{(a+2)(2-a)}{2-a} - \frac{4}{2-a}$
$= \frac{4 - a^2 - 4}{2 - a}$
$= \frac{-a^2}{2 - a}$
$= \frac{a^2}{a - 2}$
10. 解下列方程：
（1）$\frac{20}{x} = \frac{24}{x + 1}$；
（2）$\frac{1}{x - 2} + 3 = \frac{1 - x}{2 - x}$.
（1）$\frac{20}{x} = \frac{24}{x + 1}$；
（2）$\frac{1}{x - 2} + 3 = \frac{1 - x}{2 - x}$.
答案
解：（1）$\frac{20}{x} = \frac{24}{x + 1}$
两边同乘$x(x+1)$，得
$20(x+1)=24x$
$20x+20=24x$
$24x-20x=20$
$4x=20$
$x=5$
检验：当$x=5$时，$x(x+1)=5×6=30≠0$，
所以$x=5$是原方程的解。
（2）$\frac{1}{x - 2} + 3 = \frac{1 - x}{2 - x}$
原方程可化为$\frac{1}{x - 2} + 3 = \frac{x - 1}{x - 2}$
两边同乘$(x-2)$，得
$1+3(x-2)=x-1$
$1+3x-6=x-1$
$3x-x=-1-1+6$
$2x=4$
$x=2$
检验：当$x=2$时，$x-2=0$，
所以$x=2$是增根，原方程无解。
两边同乘$x(x+1)$，得
$20(x+1)=24x$
$20x+20=24x$
$24x-20x=20$
$4x=20$
$x=5$
检验：当$x=5$时，$x(x+1)=5×6=30≠0$，
所以$x=5$是原方程的解。
（2）$\frac{1}{x - 2} + 3 = \frac{1 - x}{2 - x}$
原方程可化为$\frac{1}{x - 2} + 3 = \frac{x - 1}{x - 2}$
两边同乘$(x-2)$，得
$1+3(x-2)=x-1$
$1+3x-6=x-1$
$3x-x=-1-1+6$
$2x=4$
$x=2$
检验：当$x=2$时，$x-2=0$，
所以$x=2$是增根，原方程无解。
