11. 先化简，再求值：$\frac{2}{x^{2} + x} ÷ (1 - \frac{x - 1}{x^{2} - 1})$，其中$x$是不等式组$\begin{cases}2(x - 1) ＜ x + 1, \\ 5x + 3 ≥ 2x\end{cases}$的整数解.

解：
解不等式组$\begin{cases}2(x - 1) ＜ x + 1, \\ 5x + 3 ≥ 2x\end{cases}$
解$2(x-1)＜x+1$：
$2x-2＜x+1$
$x＜3$
解$5x+3≥2x$：
$3x≥-3$
$x≥-1$
∴不等式组的解集为$-1≤x＜3$，整数解为$x=-1,0,1,2$
化简$\frac{2}{x^{2} + x} ÷ (1 - \frac{x - 1}{x^{2} - 1})$：
原式$=\frac{2}{x(x+1)} ÷ [1 - \frac{x-1}{(x-1)(x+1)}]$（$x≠±1,0$）
$=\frac{2}{x(x+1)} ÷ (1 - \frac{1}{x+1})$
$=\frac{2}{x(x+1)} ÷ \frac{(x+1)-1}{x+1}$
$=\frac{2}{x(x+1)} × \frac{x+1}{x}$
$=\frac{2}{x^2}$
∵分式有意义时，$x≠-1,0,1$，∴取$x=2$
当$x=2$时，原式$=\frac{2}{2^2}=\frac{1}{2}$

12. 某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单（下表）已被墨水污染.

商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高 50%.
王师傅：甲商品比乙商品的数量多 60 件.
问：甲、乙每件商品的进价是多少元？

解：设乙商品每件的进价为$ x $元，则甲商品每件的进价为$ (1+50\%)x = 1.5x $元。
根据题意，得：
$\frac{9300}{1.5x} - \frac{3200}{x} = 60$
化简得：
$\frac{6200}{x} - \frac{3200}{x} = 60$
$\frac{3000}{x} = 60$
解得：$ x = 50 $
经检验，$ x = 50 $是原分式方程的解，且符合题意。
甲商品每件的进价为：$ 1.5×50 = 75 $（元）
答：甲商品每件的进价是75元，乙商品每件的进价是50元。

13. 若$\frac{x - 2}{△ - 4}$是一个最简分式，则$△$可以是()

A.$x^{2}$
B.$2x$
C.$x$
D.2

C

根据最简分式的定义（分子、分母为整式且无公因式，且分母含字母），逐一分析选项：
1. 若△=x²，分母为x²-4=(x-2)(x+2)，与分子x-2有公因式x-2，不是最简分式；
2. 若△=2x，分母为2x-4=2(x-2)，与分子x-2有公因式x-2，不是最简分式；
3. 若△=x，分母为x-4，与分子x-2无公因式，且分母含字母，是最简分式；
4. 若△=2，分母为-2，不含字母，该式子不是分式，不符合要求。
综上，△可以是x。

14. 已知关于$x$的分式方程$\frac{a + 2}{x + 1} = 1$的解是非正数，则$a$的取值范围()

A.$a ≤ -1$
B.$a ≤ -1$且$a ≠ -2$
C.$a ≤ 1$且$a ≠ -2$
D.$a ≤ 1$

B

1. 解分式方程：给方程$\frac{a + 2}{x + 1} = 1$两边同乘$x+1$（$x≠-1$），得$a+2=x+1$，解得$x=a+1$。
2. 根据题意分析：
解为非正数：$a+1≤0$，解得$a≤-1$；
分母不为0：$x+1≠0$，即$a+1≠-1$，解得$a≠-2$。
3. 综上，$a$的取值范围是$a ≤ -1$且$a ≠ -2$。

15. 若$ab = 1$，则$\frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}}$的值为.

1

由$ab=1$得$b=\frac{1}{a}$，将其代入原式：
$\frac{1}{1+a^2} + \frac{1}{1+(\frac{1}{a})^2} = \frac{1}{1+a^2} + \frac{a^2}{a^2+1} = \frac{1+a^2}{1+a^2} = 1$