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8. 小杨、小刚用摸球游戏决定谁去看电影，袋中有1个红球和1个白球(除颜色外其他都相同)，现从袋子中任意摸出1个球，若是红球，小杨去看电影，否则小刚去. 这种方法对双方是
公平的
(填“公平的”或“不公平的”).答案
公平的
解析
【解析】
袋中有1个红球和1个白球，从袋中任意摸出1个球，摸出红球的概率为$\frac{1}{2}$，摸出白球的概率也为$\frac{1}{2}$，即小杨和小刚去看电影的概率相等，所以这种方法对双方是公平的。
【答案】
公平的
【知识点】
游戏公平性判断、简单概率计算
【点评】
判断游戏是否公平，关键是看双方获胜的概率是否相等。本题中两人获得看电影机会的概率均为$\frac{1}{2}$，因此游戏公平。
【难度系数】
0.9
袋中有1个红球和1个白球，从袋中任意摸出1个球，摸出红球的概率为$\frac{1}{2}$，摸出白球的概率也为$\frac{1}{2}$，即小杨和小刚去看电影的概率相等，所以这种方法对双方是公平的。
【答案】
公平的
【知识点】
游戏公平性判断、简单概率计算
【点评】
判断游戏是否公平，关键是看双方获胜的概率是否相等。本题中两人获得看电影机会的概率均为$\frac{1}{2}$，因此游戏公平。
【难度系数】
0.9
9. 为了估计湖里有多少条鱼，先从湖里捕100条鱼做标记，然后放回湖里，经过一段时间，待带标记的鱼完全混合于鱼群中，再捕200条鱼，若其中带标记的鱼有25条，则估计湖里有
800
条鱼.答案
800
解析
【解析】
设湖里估计有$ x $条鱼，根据标记鱼在总体中的比例与样本中的比例相等，可列方程：
$\frac{100}{x} = \frac{25}{200}$
解得：$ x = \frac{100 × 200}{25} = 800 $。
【答案】
800
【知识点】
用样本估计总体、比例估算
【点评】
本题考查统计中用样本估计总体的思想，通过标记重捕法，利用标记鱼的比例相等建立方程求解，解题关键是理解标记鱼在总体和样本中的占比一致。
【难度系数】
0.8
设湖里估计有$ x $条鱼，根据标记鱼在总体中的比例与样本中的比例相等，可列方程：
$\frac{100}{x} = \frac{25}{200}$
解得：$ x = \frac{100 × 200}{25} = 800 $。
【答案】
800
【知识点】
用样本估计总体、比例估算
【点评】
本题考查统计中用样本估计总体的思想，通过标记重捕法，利用标记鱼的比例相等建立方程求解，解题关键是理解标记鱼在总体和样本中的占比一致。
【难度系数】
0.8
10. 某市园林部门为了扩大城市的绿化面积，移栽了大量树木. 下表记录的是在相同的条件下某种幼树的移栽棵数与成活棵数：
依此估计这种幼树成活的概率是
依此估计这种幼树成活的概率是
0.9
(精确到0.1).答案
0.9
解析
【解析】
分别计算三次移栽的成活频率：
$89÷100=0.89$，$910÷1000=0.91$，$9008÷10000=0.9008$。
随着移栽棵数的增加，成活频率逐渐稳定在0.9附近，因此估计这种幼树成活的概率是0.9（精确到0.1）。
【答案】
0.9
【知识点】
用频率估计概率
【点评】
本题考查用频率估计概率的思想，当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，可据此估计事件发生的概率。
【难度系数】
0.8
分别计算三次移栽的成活频率：
$89÷100=0.89$，$910÷1000=0.91$，$9008÷10000=0.9008$。
随着移栽棵数的增加，成活频率逐渐稳定在0.9附近，因此估计这种幼树成活的概率是0.9（精确到0.1）。
【答案】
0.9
【知识点】
用频率估计概率
【点评】
本题考查用频率估计概率的思想，当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，可据此估计事件发生的概率。
【难度系数】
0.8
11. 在如图所示的图形中随机撒一把豆子，豆子落在
A
区域的概率最大.答案
11. A
解析
【解析】
先分别计算各区域的面积：
C区域面积：$S_C=π×2^2=4π$；
B区域面积：$S_B=π×(2+2)^2 - S_C=16π - 4π=12π$；
A区域面积：$S_A=π×(2+2+2)^2 - π×(2+2)^2=36π - 16π=20π$。
因为$20π＞12π＞4π$，即A区域面积最大，根据几何概型，面积越大，豆子落在该区域的概率越大，所以豆子落在A区域的概率最大。
【答案】
A
【知识点】
几何概型，圆的面积计算
【点评】
本题考查几何概型的概率应用，核心是通过计算各区域面积大小来判断概率大小，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
先分别计算各区域的面积：
C区域面积：$S_C=π×2^2=4π$；
B区域面积：$S_B=π×(2+2)^2 - S_C=16π - 4π=12π$；
A区域面积：$S_A=π×(2+2+2)^2 - π×(2+2)^2=36π - 16π=20π$。
因为$20π＞12π＞4π$，即A区域面积最大，根据几何概型，面积越大，豆子落在该区域的概率越大，所以豆子落在A区域的概率最大。
【答案】
A
【知识点】
几何概型，圆的面积计算
【点评】
本题考查几何概型的概率应用，核心是通过计算各区域面积大小来判断概率大小，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
三、解答题（共56分）
12. （6分）下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
（1）测得某天的最高气温为100$^{\circ}C$；
（2）在100件某种产品中有2件次品，从中任取1件恰好是次品；
（3）如果$m$，$n$是实数，那么$m + n = n + m$；
（4）经过某一装有交通信号灯的路口，遇到红灯.
12. （6分）下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
（1）测得某天的最高气温为100$^{\circ}C$；
（2）在100件某种产品中有2件次品，从中任取1件恰好是次品；
（3）如果$m$，$n$是实数，那么$m + n = n + m$；
（4）经过某一装有交通信号灯的路口，遇到红灯.
答案
（3）是必然事件，（1）是不可能事件，（2）（4）是随机事件
解析
【解析】
根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义逐一分析：
（1）现实生活中气温不可能达到100℃，该事件一定不会发生，属于不可能事件；
（2）100件产品中有2件次品，从中任取1件，可能取到次品也可能取到正品，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件；
（3）由实数加法交换律可知，对任意实数m、n，m+n=n+m一定成立，该事件一定会发生，属于必然事件；
（4）经过装有交通信号灯的路口，可能遇到红灯、绿灯或黄灯，遇到红灯是可能发生也可能不发生的，属于随机事件。
【答案】
（3）是必然事件，（1）是不可能事件，（2）（4）是随机事件
【知识点】
事件类型判定、加法交换律
【点评】
本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念，需结合生活实际与数学运算性质对各事件进行判断，帮助理解事件分类的本质。
【难度系数】
0.9
根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义逐一分析：
（1）现实生活中气温不可能达到100℃，该事件一定不会发生，属于不可能事件；
（2）100件产品中有2件次品，从中任取1件，可能取到次品也可能取到正品，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件；
（3）由实数加法交换律可知，对任意实数m、n，m+n=n+m一定成立，该事件一定会发生，属于必然事件；
（4）经过装有交通信号灯的路口，可能遇到红灯、绿灯或黄灯，遇到红灯是可能发生也可能不发生的，属于随机事件。
【答案】
（3）是必然事件，（1）是不可能事件，（2）（4）是随机事件
【知识点】
事件类型判定、加法交换律
【点评】
本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念，需结合生活实际与数学运算性质对各事件进行判断，帮助理解事件分类的本质。
【难度系数】
0.9
13. （8分）一个不透明的盒子中装有蓝色幸运星和红色幸运星共68颗，这些幸运星除颜色不同外其他都相同. 小明从中随机摸出1颗幸运星记下颜色并放回摇匀，通过大量重复试验后发现摸到红色幸运星的频率稳定在0.25，请估计盒子中红色幸运星的颗数.
答案
13. 估计盒子中红色幸运星有17颗
解析
【解析】
大量重复试验后，摸到红色幸运星的频率稳定在0.25，因此可估计摸到红色幸运星的概率为0.25。
已知盒子中幸运星共68颗，所以红色幸运星的估计颗数为：68×0.25=17（颗）。
【答案】
17颗
【知识点】
用频率估计概率、概率的实际应用
【点评】
本题考查用频率估计概率的实际应用，解题关键是理解当试验次数足够多时，频率可近似看作概率，进而利用总数乘以概率计算所求数量，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
大量重复试验后，摸到红色幸运星的频率稳定在0.25，因此可估计摸到红色幸运星的概率为0.25。
已知盒子中幸运星共68颗，所以红色幸运星的估计颗数为：68×0.25=17（颗）。
【答案】
17颗
【知识点】
用频率估计概率、概率的实际应用
【点评】
本题考查用频率估计概率的实际应用，解题关键是理解当试验次数足够多时，频率可近似看作概率，进而利用总数乘以概率计算所求数量，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
