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4. 求出下列圆锥的体积。
(1) 底面周长是9.42米，高是1.8米。
(2) 底面半径是4厘米，高是21厘米。
(1) 底面周长是9.42米，高是1.8米。
(2) 底面半径是4厘米，高是21厘米。
答案
(1)
底面半径$r = 9.42÷(2×3.14)= 1.5$（米）
$V=\frac{1}{3}×3.14×1.5^{2}×1.8$
$=\frac{1}{3}×3.14×2.25×1.8$
$ = 4.239$（立方米）
(2)
$V=\frac{1}{3}×3.14×4^{2}×21$
$=\frac{1}{3}×3.14×16×21$
$ = 351.68$（立方厘米）
底面半径$r = 9.42÷(2×3.14)= 1.5$（米）
$V=\frac{1}{3}×3.14×1.5^{2}×1.8$
$=\frac{1}{3}×3.14×2.25×1.8$
$ = 4.239$（立方米）
(2)
$V=\frac{1}{3}×3.14×4^{2}×21$
$=\frac{1}{3}×3.14×16×21$
$ = 351.68$（立方厘米）
5. 一个圆锥形状的铅锤的底面半径是2厘米，高是9厘米，把它没入盛满水的大烧杯里，将有多少毫升水溢出烧杯？
答案
3.14×2²×9×1/3=37.68(立方厘米)
37.68立方厘米=37.68毫升
答：将有37.68毫升水溢出烧杯。
37.68立方厘米=37.68毫升
答：将有37.68毫升水溢出烧杯。
6. 一个圆锥形沙堆的底面周长是25.12米，高是2米。如果每立方米沙重1.5吨，这堆沙一共重多少吨？
答案
1. 底面半径：25.12÷3.14÷2=4（米）
2. 底面积：3.14×4²=50.24（平方米）
3. 圆锥体积：50.24×2×1/3≈33.493（立方米）
4. 沙堆重量：33.493×1.5≈50.24（吨）
答：这堆沙一共重50.24吨。
2. 底面积：3.14×4²=50.24（平方米）
3. 圆锥体积：50.24×2×1/3≈33.493（立方米）
4. 沙堆重量：33.493×1.5≈50.24（吨）
答：这堆沙一共重50.24吨。
7. 绕着一个圆锥形碎石堆的外边缘走一圈，正好是18.84米。如果这堆碎石最高点是2.4米，它的体积是多少立方米？
答案
答题卡：
由题意，底面周长$C = 18.84$（米），
则底面半径$r = \frac{C}{2π} = \frac{18.84}{2 × 3.14} = 3$（米），
圆锥体积公式$V = \frac{1}{3}π r^{2}h$，
已知$r = 3$米，高$h = 2.4$米，$π$取3.14，
则$V = \frac{1}{3} × 3.14 × 3^{2} × 2.4 = 22.608$（立方米），
所以它的体积是22.608立方米。
由题意，底面周长$C = 18.84$（米），
则底面半径$r = \frac{C}{2π} = \frac{18.84}{2 × 3.14} = 3$（米），
圆锥体积公式$V = \frac{1}{3}π r^{2}h$，
已知$r = 3$米，高$h = 2.4$米，$π$取3.14，
则$V = \frac{1}{3} × 3.14 × 3^{2} × 2.4 = 22.608$（立方米），
所以它的体积是22.608立方米。
8. 一个圆锥形容器，体积是113.04立方厘米，底面半径是3厘米，容器的高是多少厘米？
答案
已知圆锥体积$V = 113.04$立方厘米，底面半径$r = 3$厘米。
圆锥体积公式：$V=\frac{1}{3}π r^2h$
推导求高公式：$h = \frac{3V}{π r^2}$
计算底面积：$π r^2=3.14×3^2 = 3.14×9=28.26$（平方厘米）
代入数据求高：$h=\frac{3×113.04}{28.26}=\frac{339.12}{28.26}=12$（厘米）
答：容器的高是12厘米。
圆锥体积公式：$V=\frac{1}{3}π r^2h$
推导求高公式：$h = \frac{3V}{π r^2}$
计算底面积：$π r^2=3.14×3^2 = 3.14×9=28.26$（平方厘米）
代入数据求高：$h=\frac{3×113.04}{28.26}=\frac{339.12}{28.26}=12$（厘米）
答：容器的高是12厘米。
9. 小君研学旅行时，搭建了一个圆锥形的帐篷，帐篷的底面直径是3米，高是1.8米。它的占地面积是多少平方米？它的体积是多少立方米？
答案
占地面积：7.065平方米；体积：4.239立方米。
解析
占地面积
底面半径：$3÷2 = 1.5$（米）
占地面积（底面积）：$S=π r^2 = 3.14×1.5^2 = 3.14×2.25 = 7.065$（平方米）
体积
体积公式：$V=\frac{1}{3}Sh$
$V=\frac{1}{3}×7.065×1.8 = 7.065×0.6 = 4.239$（立方米）
底面半径：$3÷2 = 1.5$（米）
占地面积（底面积）：$S=π r^2 = 3.14×1.5^2 = 3.14×2.25 = 7.065$（平方米）
体积
体积公式：$V=\frac{1}{3}Sh$
$V=\frac{1}{3}×7.065×1.8 = 7.065×0.6 = 4.239$（立方米）
10. 把一个圆锥沿着底面直径切开，得到两个相同的图形(如图所示)，每个截面的面积是30平方厘米。如果圆锥的高是5厘米，那么它的体积是多少立方厘米？
答案
根据题意：
截面面积 $S = 30$ 平方厘米，是等腰三角形的面积。
圆锥的高 $h = 5$ 厘米，是等腰三角形的高。
等腰三角形的面积公式为：
$S = \frac{1}{2} × \mathrm{底} × \mathrm{高}$。
代入已知数据：
$30 = \frac{1}{2} × d × 5$。
$d = \frac{30 × 2}{5} = 12$ (厘米)。
圆锥的体积公式为：
$V = \frac{1}{3} π r^2 h$。
半径 $r = \frac{d}{2} = 6$ 厘米。
代入公式：
$V = \frac{1}{3} π (6)^2 × 5 = \frac{1}{3} π × 36 × 5 = 60π \approx 188.4 \mathrm{(立方厘米)}$。
圆锥的体积是 $ 60π $ 立方厘米或约 188.4 立方厘米。
截面面积 $S = 30$ 平方厘米，是等腰三角形的面积。
圆锥的高 $h = 5$ 厘米，是等腰三角形的高。
等腰三角形的面积公式为：
$S = \frac{1}{2} × \mathrm{底} × \mathrm{高}$。
代入已知数据：
$30 = \frac{1}{2} × d × 5$。
$d = \frac{30 × 2}{5} = 12$ (厘米)。
圆锥的体积公式为：
$V = \frac{1}{3} π r^2 h$。
半径 $r = \frac{d}{2} = 6$ 厘米。
代入公式：
$V = \frac{1}{3} π (6)^2 × 5 = \frac{1}{3} π × 36 × 5 = 60π \approx 188.4 \mathrm{(立方厘米)}$。
圆锥的体积是 $ 60π $ 立方厘米或约 188.4 立方厘米。
11. 瓶子里装着一些水(如下图)，瓶底面积是0.8平方分米，水的高度是2分米，瓶子高度是3分米。请想办法计算瓶子的容积。(瓶壁厚度忽略不计。)
答案
1. 水的体积：$ V_{水}=S× h_{水}=0.8×2 = 1.6 $（立方分米）
2. 倒放时空气高度：$ h_{空}=3 - 2.4 = 0.6 $（分米）
3. 空气体积：$ V_{空}=S× h_{空}=0.8×0.6 = 0.48 $（立方分米）
4. 瓶子容积：$ V=V_{水}+V_{空}=1.6 + 0.48 = 2.08 $（立方分米）
答：瓶子的容积是2.08立方分米。
2. 倒放时空气高度：$ h_{空}=3 - 2.4 = 0.6 $（分米）
3. 空气体积：$ V_{空}=S× h_{空}=0.8×0.6 = 0.48 $（立方分米）
4. 瓶子容积：$ V=V_{水}+V_{空}=1.6 + 0.48 = 2.08 $（立方分米）
答：瓶子的容积是2.08立方分米。
