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填空 若 $ a + \frac{1}{a} = 2\sqrt{6} $，则 $ a - \frac{1}{a} = $。
答案
$\pm2\sqrt{5}$
解析
由题意，先对$a + \frac{1}{a} = 2\sqrt{6}$两边平方：$(a + \frac{1}{a})^2 = (2\sqrt{6})^2$，
即$a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 24$，
移项，可得$a^2 + \frac{1}{a^2} = 24 - 2 = 22$，
再求$(a - \frac{1}{a})^2$的值：$(a - \frac{1}{a})^2 = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} = 22 - 2 = 20$，
那么$a - \frac{1}{a} = \pm\sqrt{20} = \pm2\sqrt{5}$。
由于题目未规定$a$的正负，所以应保留正负两种情况。
即$a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 24$，
移项，可得$a^2 + \frac{1}{a^2} = 24 - 2 = 22$，
再求$(a - \frac{1}{a})^2$的值：$(a - \frac{1}{a})^2 = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} = 22 - 2 = 20$，
那么$a - \frac{1}{a} = \pm\sqrt{20} = \pm2\sqrt{5}$。
由于题目未规定$a$的正负，所以应保留正负两种情况。
例 1 计算：
(1) $ \sqrt{45} - \sqrt{\frac{2}{5}} × \sqrt{50} $；
(2) $ ( \frac{1}{3}\sqrt{27} - \sqrt{24} - 3\sqrt{\frac{2}{3}} ) · \sqrt{12} $。
(1) $ \sqrt{45} - \sqrt{\frac{2}{5}} × \sqrt{50} $；
(2) $ ( \frac{1}{3}\sqrt{27} - \sqrt{24} - 3\sqrt{\frac{2}{3}} ) · \sqrt{12} $。
答案
(1)
首先，化简各项：
$\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=3\sqrt{5}$，
$\sqrt{\frac{2}{5}}×\sqrt{50}=\sqrt{\frac{2}{5}×50}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
然后，进行减法运算：
$\sqrt{45}-\sqrt{\frac{2}{5}}×\sqrt{50}=3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=\sqrt{5}$。
(2)
首先，化简各项：
$\frac{1}{3}\sqrt{27}=\frac{1}{3}×3\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，
$3\sqrt{\frac{2}{3}}=3×\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=3×\frac{\sqrt{6}}{3}=\sqrt{6}$，
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
然后，进行乘法运算：
$(\frac{1}{3}\sqrt{27}-\sqrt{24}-3\sqrt{\frac{2}{3}})·\sqrt{12}=(\sqrt{3}-2\sqrt{6}-\sqrt{6})×2\sqrt{3}$
$=(\sqrt{3}-3\sqrt{6})×2\sqrt{3}$
$=6 - 18\sqrt{2}$
首先，化简各项：
$\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=3\sqrt{5}$，
$\sqrt{\frac{2}{5}}×\sqrt{50}=\sqrt{\frac{2}{5}×50}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
然后，进行减法运算：
$\sqrt{45}-\sqrt{\frac{2}{5}}×\sqrt{50}=3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=\sqrt{5}$。
(2)
首先，化简各项：
$\frac{1}{3}\sqrt{27}=\frac{1}{3}×3\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，
$3\sqrt{\frac{2}{3}}=3×\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=3×\frac{\sqrt{6}}{3}=\sqrt{6}$，
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
然后，进行乘法运算：
$(\frac{1}{3}\sqrt{27}-\sqrt{24}-3\sqrt{\frac{2}{3}})·\sqrt{12}=(\sqrt{3}-2\sqrt{6}-\sqrt{6})×2\sqrt{3}$
$=(\sqrt{3}-3\sqrt{6})×2\sqrt{3}$
$=6 - 18\sqrt{2}$
变式训练 $ (\sqrt{3} + \sqrt{2}) × \sqrt{2} - (\sqrt{12} - \sqrt{10}) ÷ \sqrt{2} = $。
答案
$2 + \sqrt{5}$
解析
$\begin{aligned}&(\sqrt{3} + \sqrt{2}) × \sqrt{2} - (\sqrt{12} - \sqrt{10}) ÷ \sqrt{2}\\=&\sqrt{3}×\sqrt{2} + \sqrt{2}×\sqrt{2} - (\sqrt{12}÷\sqrt{2} - \sqrt{10}÷\sqrt{2})\\=&\sqrt{6} + 2 - (\sqrt{6} - \sqrt{5})\\=&\sqrt{6} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{5}\\=&2 + \sqrt{5}\end{aligned}$
例 2 计算：
(1) $ (3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7}) $；
(2) $ (2\sqrt{6} - 5\sqrt{2})(-2\sqrt{6} - 5\sqrt{2}) $；
(3) $ ( \frac{3}{4}\sqrt{1\frac{1}{3}} - 2\sqrt{\frac{3}{8}} )^2 $；
(4) $ (\sqrt{3} - \sqrt{2} - 1)(\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1) $。
(1) $ (3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7}) $；
(2) $ (2\sqrt{6} - 5\sqrt{2})(-2\sqrt{6} - 5\sqrt{2}) $；
(3) $ ( \frac{3}{4}\sqrt{1\frac{1}{3}} - 2\sqrt{\frac{3}{8}} )^2 $；
(4) $ (\sqrt{3} - \sqrt{2} - 1)(\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1) $。
答案
(1)
根据平方差公式$(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$，在$(3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7})$中，$a = 3$，$b=\sqrt{7}$，则：
$(3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7})=3^{2}-(\sqrt{7})^{2}=9 - 7=2$
(2)
对$(2\sqrt{6} - 5\sqrt{2})(-2\sqrt{6} - 5\sqrt{2})$变形为$(-5\sqrt{2}+2\sqrt{6})(-5\sqrt{2}-2\sqrt{6})$，根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a=-5\sqrt{2}$，$b = 2\sqrt{6}$，则：
$(-5\sqrt{2}+2\sqrt{6})(-5\sqrt{2}-2\sqrt{6})=(-5\sqrt{2})^{2}-(2\sqrt{6})^{2}=50 - 24=26$
(3)
先将$\sqrt{1\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{\frac{3}{8}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$，则$\frac{3}{4}\sqrt{1\frac{1}{3}}=\frac{3}{4}×\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$2\sqrt{\frac{3}{8}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
原式$=(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2})^{2}$，根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，这里$a=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$b=\frac{\sqrt{6}}{2}$，则：
$\begin{aligned}&(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2})^{2}\\=&(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}-2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}+(\frac{\sqrt{6}}{2})^{2}\\=&\frac{3}{4}-\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{6}{4}\\=&\frac{3 + 6}{4}-\frac{3\sqrt{2}}{2}\\=&\frac{9}{4}-\frac{3\sqrt{2}}{2}\\=&\frac{9 - 6\sqrt{2}}{4}\end{aligned}$
(4)
对$(\sqrt{3} - \sqrt{2} - 1)(\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1)$变形为$[(\sqrt{3}-\sqrt{2})-1][(\sqrt{3}-\sqrt{2})+1]$，根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$b = 1$，则：
$\begin{aligned}&[(\sqrt{3}-\sqrt{2})-1][(\sqrt{3}-\sqrt{2})+1]\\=&(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}-1^{2}\\=&3-2\sqrt{6}+2 - 1\\=&4-2\sqrt{6}\end{aligned}$
综上，答案依次为：(1)$2$；(2)$26$；(3)$\frac{9 - 6\sqrt{2}}{4}$；(4)$4 - 2\sqrt{6}$。
根据平方差公式$(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$，在$(3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7})$中，$a = 3$，$b=\sqrt{7}$，则：
$(3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7})=3^{2}-(\sqrt{7})^{2}=9 - 7=2$
(2)
对$(2\sqrt{6} - 5\sqrt{2})(-2\sqrt{6} - 5\sqrt{2})$变形为$(-5\sqrt{2}+2\sqrt{6})(-5\sqrt{2}-2\sqrt{6})$，根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a=-5\sqrt{2}$，$b = 2\sqrt{6}$，则：
$(-5\sqrt{2}+2\sqrt{6})(-5\sqrt{2}-2\sqrt{6})=(-5\sqrt{2})^{2}-(2\sqrt{6})^{2}=50 - 24=26$
(3)
先将$\sqrt{1\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{\frac{3}{8}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$，则$\frac{3}{4}\sqrt{1\frac{1}{3}}=\frac{3}{4}×\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$2\sqrt{\frac{3}{8}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
原式$=(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2})^{2}$，根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，这里$a=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$b=\frac{\sqrt{6}}{2}$，则：
$\begin{aligned}&(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2})^{2}\\=&(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}-2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}+(\frac{\sqrt{6}}{2})^{2}\\=&\frac{3}{4}-\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{6}{4}\\=&\frac{3 + 6}{4}-\frac{3\sqrt{2}}{2}\\=&\frac{9}{4}-\frac{3\sqrt{2}}{2}\\=&\frac{9 - 6\sqrt{2}}{4}\end{aligned}$
(4)
对$(\sqrt{3} - \sqrt{2} - 1)(\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1)$变形为$[(\sqrt{3}-\sqrt{2})-1][(\sqrt{3}-\sqrt{2})+1]$，根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$b = 1$，则：
$\begin{aligned}&[(\sqrt{3}-\sqrt{2})-1][(\sqrt{3}-\sqrt{2})+1]\\=&(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}-1^{2}\\=&3-2\sqrt{6}+2 - 1\\=&4-2\sqrt{6}\end{aligned}$
综上，答案依次为：(1)$2$；(2)$26$；(3)$\frac{9 - 6\sqrt{2}}{4}$；(4)$4 - 2\sqrt{6}$。
变式训练 $ (\sqrt{2} + 3)(\sqrt{2} - 5) - (\sqrt{2} + 4) × (\sqrt{2} - 4) = $。
答案
$1 - 2\sqrt{2}$
解析
首先利用多项式乘法法则展开$(\sqrt{2} + 3)(\sqrt{2} - 5)$：
$\ (\sqrt{2} + 3)(\sqrt{2} - 5)$
$=\sqrt{2}×\sqrt{2}-5×\sqrt{2}+3×\sqrt{2}-3×5$
$=2 - 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 15$
$=2 - 2\sqrt{2} - 15$
$=- 2\sqrt{2} - 13$
再利用平方差公式展开$(\sqrt{2} + 4)(\sqrt{2} - 4)$：
$(\sqrt{2} + 4)(\sqrt{2} - 4)=\sqrt{2}^2 - 4^2 = 2 - 16 = -14$，
将两个结果进行相减：
$\ (\sqrt{2} + 3)(\sqrt{2} - 5) - (\sqrt{2} + 4)(\sqrt{2} - 4)$
$=(- 2\sqrt{2} - 13) - (-14)$
$=- 2\sqrt{2} - 13 + 14$
$=1 - 2\sqrt{2}$
$\ (\sqrt{2} + 3)(\sqrt{2} - 5)$
$=\sqrt{2}×\sqrt{2}-5×\sqrt{2}+3×\sqrt{2}-3×5$
$=2 - 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 15$
$=2 - 2\sqrt{2} - 15$
$=- 2\sqrt{2} - 13$
再利用平方差公式展开$(\sqrt{2} + 4)(\sqrt{2} - 4)$：
$(\sqrt{2} + 4)(\sqrt{2} - 4)=\sqrt{2}^2 - 4^2 = 2 - 16 = -14$，
将两个结果进行相减：
$\ (\sqrt{2} + 3)(\sqrt{2} - 5) - (\sqrt{2} + 4)(\sqrt{2} - 4)$
$=(- 2\sqrt{2} - 13) - (-14)$
$=- 2\sqrt{2} - 13 + 14$
$=1 - 2\sqrt{2}$
1. 计算 $ \sqrt{8} - \sqrt{2} × (\sqrt{2} - 2) $ 的结果是()
A.-2
B.$ \sqrt{2} - 2 $
C.2
D.$ 4\sqrt{2} - 2 $
A.-2
B.$ \sqrt{2} - 2 $
C.2
D.$ 4\sqrt{2} - 2 $
答案
D
解析
原式$=2\sqrt{2}-(\sqrt{2}×\sqrt{2}-\sqrt{2}×2)=2\sqrt{2}-(2 - 2\sqrt{2})=2\sqrt{2}-2 + 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}-2$
2. 估计 $ \sqrt{12} × \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{10} ÷ \sqrt{2} $ 的运算结果应在()
A.2 和 3 之间
B.3 和 4 之间
C.4 和 5 之间
D.5 和 6 之间
A.2 和 3 之间
B.3 和 4 之间
C.4 和 5 之间
D.5 和 6 之间
答案
C
解析
首先，根据二次根式的乘法法则，$\sqrt{a}× \sqrt{b}=\sqrt{a× b}$ ，有$\sqrt{12} × \sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{12 × \frac{1}{3}} = \sqrt{4} = 2$。
接着，根据二次根式的除法法则，$\sqrt{a}÷ \sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$，有$\sqrt{10} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{\frac{10}{2}} = \sqrt{5}$。
对$\sqrt{5}$进行估算，由于$2^2 = 4 ＜ 5 ＜ 3^2 = 9$，所以$2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$。
因为$2+2（即\sqrt{4}）＜ 2 + \sqrt{5} ＜ 2+3（即\sqrt{9}）$，即$4 ＜ 2 + \sqrt{5} ＜ 5$。
接着，根据二次根式的除法法则，$\sqrt{a}÷ \sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$，有$\sqrt{10} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{\frac{10}{2}} = \sqrt{5}$。
对$\sqrt{5}$进行估算，由于$2^2 = 4 ＜ 5 ＜ 3^2 = 9$，所以$2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$。
因为$2+2（即\sqrt{4}）＜ 2 + \sqrt{5} ＜ 2+3（即\sqrt{9}）$，即$4 ＜ 2 + \sqrt{5} ＜ 5$。
3. 若 $ a $ 是 $ \sqrt{11} $ 的小数部分，则 $ a(a + 6) = $。
答案
2
解析
因为$3＜\sqrt{11}＜4$，所以$\sqrt{11}$的整数部分是3，小数部分$a = \sqrt{11}-3$。则$a(a + 6)=(\sqrt{11}-3)(\sqrt{11}-3 + 6)=(\sqrt{11}-3)(\sqrt{11}+3)=(\sqrt{11})^2 - 3^2=11 - 9=2$
4. 对于任意的正数 $ m, n $，定义运算“※”为：
$ m※n = \begin{cases} \sqrt{m} - \sqrt{n}(m ＞ n), \\ \sqrt{m} + \sqrt{n}(m ＜ n). \end{cases} $
则计算 $ (3※2) × (8※12) $ 的结果为。
$ m※n = \begin{cases} \sqrt{m} - \sqrt{n}(m ＞ n), \\ \sqrt{m} + \sqrt{n}(m ＜ n). \end{cases} $
则计算 $ (3※2) × (8※12) $ 的结果为。
答案
解题步骤：
1. 计算 $3※2$
因为 $3 ＞ 2$，根据定义 $m※n = \sqrt{m} - \sqrt{n}$（当 $m ＞ n$ 时），
所以 $3※2 = \sqrt{3} - \sqrt{2}$。
2. 计算 $8※12$
因为 $8 ＜ 12$，根据定义 $m※n = \sqrt{m} + \sqrt{n}$（当 $m ＜ n$ 时），
所以 $8※12 = \sqrt{8} + \sqrt{12}$。
化简二次根式：$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$，$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$，
因此 $8※12 = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} = 2(\sqrt{2} + \sqrt{3})$。
3. 计算乘积 $(3※2) × (8※12)$
代入上述结果：
$(\sqrt{3} - \sqrt{2}) × 2(\sqrt{2} + \sqrt{3})$
利用平方差公式 $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$，其中 $a = \sqrt{3}$，$b = \sqrt{2}$，
得：$2[(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2] = 2(3 - 2) = 2×1 = 2$。
最终结论：
$\boxed{2}$
1. 计算 $3※2$
因为 $3 ＞ 2$，根据定义 $m※n = \sqrt{m} - \sqrt{n}$（当 $m ＞ n$ 时），
所以 $3※2 = \sqrt{3} - \sqrt{2}$。
2. 计算 $8※12$
因为 $8 ＜ 12$，根据定义 $m※n = \sqrt{m} + \sqrt{n}$（当 $m ＜ n$ 时），
所以 $8※12 = \sqrt{8} + \sqrt{12}$。
化简二次根式：$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$，$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$，
因此 $8※12 = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} = 2(\sqrt{2} + \sqrt{3})$。
3. 计算乘积 $(3※2) × (8※12)$
代入上述结果：
$(\sqrt{3} - \sqrt{2}) × 2(\sqrt{2} + \sqrt{3})$
利用平方差公式 $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$，其中 $a = \sqrt{3}$，$b = \sqrt{2}$，
得：$2[(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2] = 2(3 - 2) = 2×1 = 2$。
最终结论：
$\boxed{2}$
