6. 如图1-4-15 $ \textcircled{1} $ ，在 $ △ ABC $中， $ AB=AC $ $ ∠ A=36° $ ，DE是AB的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点D。
(1) 求 $ ∠ D B C $的度数。
(2) 如图1-4-15 $ \textcircled{2} $ ，若 DF $ \bot $ BC于点F，连接EF交BD于点H。
$ \textcircled{1} $求证：BD垂直平分EF；
$ \textcircled{2} $若 $ A E=m $ ， $ CD=n $ ，且 m＞n，求 CF的长。（用含 m，n的式子表示）

6. (1)解：$\because AB=AC$，$∠ A=36^{\circ }$，
$\therefore ∠ C=∠ ABC=\frac{1}{2}(180^{\circ }-∠ A)=72^{\circ }$。
$\because DE$是AB的垂直平分线，
$\therefore DA=DB$，
$\therefore ∠ ABD=∠ A=36^{\circ }$，
$\therefore ∠ DBC=∠ ABC-∠ ABD=36^{\circ }$。
(2)①证明：由(1)知$∠ DBC=∠ ABD=36^{\circ }$，
$\therefore BD$平分$∠ ABC$。
$\because DE⊥ AB$于点E，$DF⊥ BC$于点F，
$\therefore DE=DF$，$∠ BED=∠ BFD=90^{\circ }$。
$\therefore$点D在EF的垂直平分线上。
又$\because BD=BD$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ BDF(\mathrm{HL})$，$\therefore BE=BF$。
$\therefore$点B在EF的垂直平分线上。
$\therefore BD$垂直平分EF。
②解：如答图1-4-5，在AB上截取$BG=BC$，连接DG。
　　　　　　　　
在$△ BDG$和$△ BDC$中，
$\because BG=BC$，$∠ DBG=∠ DBC$，$BD=BD$，
$\therefore △ BDG≌△ BDC(\mathrm{SAS})$。
$\therefore DG=DC$，$∠ BGD=∠ C=72^{\circ }=2∠ A$。
$\because ∠ BGD=∠ GDA+∠ A$，$\therefore ∠ A=∠ GDA$，
$\therefore AG=DG=DC=n$。
$\because GE=BG-BE=BC-BF=CF$，
$\therefore CF=GE=AE-AG=m-n$。

1. 如图1-4-16，在 $ △ A B C $中， $ ∠ A B C=4 5° $ ，CD $ \bot $ AB于点D，BE平分 $ ∠ A B C $ ，且BE $ \bot $ AC于点E，与CD相交于点F，DH $ \bot $ BC于点H交BE于点G。给出下列结论： $ \textcircled{1} B D=C D $ ； $ \textcircled{2} A D+C F=B D $ ； $ \textcircled{3} C E=\frac{1}{2} B F $ ； $ \textcircled{4} A E=B G $ 。其中正确的是_______。（填序号） ## 二、拓展性作业

1. ①②③

2. 如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫作等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线。如图1-4-17 $ \textcircled{1} $ ，当 $ △ A B D $和 $ △ A C D $为等腰三角形时， AD为 $ △ A B C $的等腰分割线。
(1) 如图1-4-17 $ \textcircled{2} $ ，在 $ △ ABC $中， $ ∠ B=2∠ C $ ，线段AC的垂直平分线ED交AC于点D，交BC于点E。求证：AE是 $ △ ABC $的一条等腰分割线。
(2) 如图1-4-17 $ \textcircled{3} $ ，在 $ △ ABC $中， $ ∠ A=120° $ $ ∠ B=20° $ $ ∠ C=40° $ ，请你用两种不同的方法完成 $ △ ABC $的等腰分割，并直接写出每种分割之后两个等腰三角形的顶角度数。
(3) 在 $ △ A B C $中，AD为 $ △ A B C $的等腰分割线，且 $ AD=BD $ $ ∠ C=30° $ ，请直接写出 $ ∠ B $的度数。

2. (1)证明：$\because DE$是AC的垂直平分线，
$\therefore AE=CE$。
$\therefore ∠ C=∠ CAE$，$△ ACE$是等腰三角形，
$\therefore ∠ AEB=∠ C+∠ CAE=2∠ C$。
$\because ∠ B=2∠ C$，$\therefore ∠ B=∠ AEB$。$\therefore AB=AE$。
$\therefore △ ABE$是等腰三角形。
$\therefore AE$是$△ ABC$的一条等腰分割线。
(2)解：第一种：如答图1-4-6①，等腰三角形ABD的顶角$∠ B=20^{\circ }$，等腰三角形ACD的顶角$∠ ADC=100^{\circ }$。
第二种：如答图1-4-6②，等腰三角形ABD的顶角$∠ ADB=140^{\circ }$，等腰三角形ACD的顶角$∠ CAD=100^{\circ }$。

(3)$∠ B$的度数为$60^{\circ }$或$15^{\circ }$或$37.5^{\circ }$。
解析：如答图1-4-6③，当$AD=CD$，$AD=BD$时，$∠ B=60^{\circ }$。
如答图1-4-6④，当$AD=AC$，$AD=BD$时，$∠ B=15^{\circ }$。
如答图1-4-6⑤，当$AC=CD$，$AD=BD$时，$∠ B=37.5^{\circ }$。
综上所述，$∠ B$的度数为$60^{\circ }$或$15^{\circ }$或$37.5^{\circ }$。