3. 【数学模型】白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。——《古从军行》
模型学习：诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题。解决此问题的关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，从而解决距离和最短的一类问题。“将军饮马”问题的数学模型如图1-4-18 $ \textcircled{1} $所示，在直线 l上存在点 P，使 PA+PB的值最小。
作法：作点 A关于直线 l的对称点 $ A^{\prime} $ ，连接 $ A^{\prime} B $ ， $ A^{\prime} B $与直线 l的交点即为点 P。此时 $ PA+PB $的值最小。

【模型应用】（1）如图1-4-18 $ \textcircled{2} $ ，已知 $ △ ABC $为等边三角形，高 $ AH=8 \mathrm{~cm} $ ，P为AH上一动点， D为AB的中点。
$ \textcircled{1} $当 $ PD+PB $的值最小时，在图中确定点 P的位置；（要有必要的画图痕迹，不用写画法）
$ \textcircled{2} $ $ PD+PB $的最小值为_______cm。
【模型变式】（2）如图1-4-18 $ \textcircled{3} $所示，某地有块三角形空地 AOB，已知 $ ∠ A O B=3 0° $ ，P是 $ △ A O B $内一点，连接PO后测得PO=10m，现当地政府欲在三角形空地AOB中修一个三角形花坛PQR，Q，R分别是OA，OB边上的任意一点（不与各边端点重合），求 $ △ P Q R $周长的最小值。

3. 解：(1)①如答图1-4-7①所示，点P为所求的点。
　　
② 8
(2)如答图1-4-7②所示，分别作点P关于OA，OB的对称点M，N，连接OM，ON，MN，MN分别交OB，OA于点R，Q，连接PR，PQ，此时$△ PQR$的周长最小。
由轴对称的性质可得$OM=ON=OP=10\ \mathrm{m}$，$∠ NOB=∠ POB$，$∠ MOA=∠ POA$。
$\therefore ∠ MON=2∠ AOB=2×30^{\circ }=60^{\circ }$。
$\therefore △ MON$为等边三角形，
即$NM=ON=OP=10\ \mathrm{m}$。
$\therefore △ PQR$周长的最小值等于$10\ \mathrm{m}$。